Câu hỏi:

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(AB\) là \(\frac{1}{2} \cdot \pi \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = 8\pi \Rightarrow AB = 8\).

Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ với \(O \equiv A\) và tia \(AB\) trùng với tia \(Ox\).

Đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(d: y = \frac{\sqrt{3}}{3} x\) (vì \(AC\) đi qua \(A(0; 0)\) và có hệ số góc \(k = \tan BAC = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)).

Gọi \((C)\) là đường tròn tâm \((2; 0)\), bán kính \(R = 2\); khi đó phương trình \((C): (x - 2)^2 + y^2 = 4\).

Hoành độ giao điểm giữa \(d\) và đường tròn \((C)\) thỏa mãn phương trình.

\(\left(x - 2\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} x\right)^2 = 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 3 \end{bmatrix}\).

Đường thẳng \(BC\) qua \(B(8; 0)\), vuông góc \(d\): \(y = \frac{\sqrt{3}}{3} x\) nên có phương trình \(y = -\sqrt{3}(x - 8)\).

Hai đường thẳng \(AC\), \(BC\) cắt nhau tại \(C\) thỏa hệ \(\begin{cases} y = \frac{\sqrt{3}}{3} x \\ y = -\sqrt{3}(x - 8) \end{cases} \Rightarrow C(6; 2\sqrt{3})\).

Thế tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(Ox\) là:.

\(V = \pi \int_{3}^{4} \left[ \frac{1}{3} x^2 - \left(4 - (x - 2)^2\right) \right] \mathrm{d}x + \pi \int_{2}^{6} \frac{1}{3} x^2 \mathrm{d}x + \pi \int_{6}^{8} 3(x - 8)^2 \mathrm{d}x = \frac{82}{3} \pi \approx \boxed{85,9}\).

Đáp án đúng là 85,9.

\(H_1\): học sinh tham gia văn nghệ \(P(H_1) = 0,44\).

\(H_2\): học sinh tham gia thi đấu thể thao \(P(H_2) = 0,56\).

Gọi \(A\) là biến cố học sinh được chọn là nữ.

\(P \left(H_1 \mid A\right) = 1 \Rightarrow P \left(H_2 \mid A\right) = 0\).

Ta có: \(P\left(H_1 \mid \overline{A}\right) = 0,2\) và ta cần tìm \(P(A \mid H_1)\).

\(P \left(H_2 \mid \overline{A}\right) = 0,8\).

\(\begin{aligned}P(A) = x &\Rightarrow P(H_1) = P(H_1 \mid A).P(A) + P(H_1 \mid \overline{A}).P(\overline{A}) \\&\Leftrightarrow 0,44 = 1.x + 0,2.(1 - x) \\&\Leftrightarrow x = 0,3\end{aligned}\).

\(P(A \mid H_1) = \frac{P(AH_1)}{P(H_1)} = \frac{P(A).P(H_1 \mid A)}{P(H_1)} = \frac{0,3.1}{0,44} = \frac{15}{22} \approx 0,68\).

Đáp án đúng là 0,68.

Ta có \(u_3=u_1+2 d \Rightarrow 2 d=3 \Rightarrow d=\frac{3}{2}\).

Đáp án đúng là D.

Vì \(\log_a b^m = m \log_a |b|\).

Đáp án đúng là C.

Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ x = 3 \end{cases}\). Bảng xét dấu \(f'(x)\)

Suy ra hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-2; 3)\).

Đáp án đúng là C.