Câu hỏi:

Gọi \(M \in y = e^x \Rightarrow M(a; e^a)\), \(N \in (P) \Rightarrow N\left(b; -\frac{1}{2}b^2 + 3b - 2\right)\).

\(d_{1}\) là tiếp tuyến của đồ thị \(y = e^{x}\) tại \(M\), \(d_{2}\) là tiếp tuyến của đồ thị \((P)\) tại \(N\).

\(\Rightarrow M N \geq d\left(M, d_2\right)\) và \(M N \geq d\left(N, d_1\right)\), Khi đó dấu " = " Xảy ra khi \(\left\{\begin{array}{l}M N \perp d_1 \\ M N \perp d_2\end{array}\right.\)

Có nghĩa là tồn tại 2 tiếp tuyến của 2 đồ thị hàm số song song với nhau, suy ra hệ số gốc 2 tiếp tuyến bằng nhau.

\(\Rightarrow f'(a) = g'(b) \Leftrightarrow e^a = -b + 3 \Rightarrow b = 3 - e^a\).

Khi đó tọa độ điểm \(N\left(3 - e^a; -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2\right)\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left(3 - e^a - a; -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2 - e^a\right) \\\Rightarrow MN = \sqrt{\left(3 - e^a - a\right)^2 + \left[ -\frac{1}{2}\left(3 - e^a\right)^2 + 3\left(3 - e^a\right) - 2 - e^a \right]^2} \xrightarrow{\text{Casio}} \frac{d}{da} \longrightarrow a = 0,5013036.\end{array}\).

Suy ra: \(MN_{Min} = 0,99123722..\)

Khi đó con đường ngắn nhất là 9,91m.

Đáp án đúng là 9,91.

Gọi \(A\): dùng phác đồ \(A\), suy ra \(\overline{A}\): dùng phác đồ \(B\). Ta có \(P(A) = P(\overline{A}) = 0,5\).

Gọi \(X\): chữa khỏi bệnh. Ta có \(P(X \mid A) = 0,6; P(X \mid \overline{A}) = 0,8\).

Gọi \(Y\): bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có \(P(Y \mid A) = 0,05; P(Y \mid \overline{A}) = 0,1\).

Ta có.

\(\begin{array}{l} P(X \bar{Y}) = P(A). P(X \bar{Y} \mid A) + P(\bar{A}). P(X \bar{Y} \mid \bar{A}) = P(A). P(X \mid A). P(\bar{Y} \mid A) + P(\bar{A}). P(X \mid \bar{A}). P(\bar{Y} \mid \bar{A}) \\= 0,5.0,6. (1 - 0,05) + 0,5.0,7. (1 - 0,1) = 0,6 \end{array}\).

Và \(P(X) = P(A). P(X \mid A) + P(\bar{A}). P(X \mid \bar{A}) = 0,5.0,6 + 0,5.0,7 = 0,65\).

Nên \(P(\bar{Y} \mid X) = \frac{P(X \bar{Y})}{P(X)} = \frac{0,6}{0,65} \approx 0,923 = 92,3\%\).

Đáp án đúng là 92,3.

Cấp số cộng có công sai \(d = u_{3} - u_{2} = 9 - 3 = 6\).

Số hạng thứ 4 của cấp số cộng là \(u_{4} = u_{3} + d = 9 + 6 = 15\).

Đáp án đúng là B.

Ta có \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là C.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) ta có:

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{2}\) nên đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

\(\Rightarrow\) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\).

\(\lim_{x \to (-1)} f(x) = -\infty\) và \(\lim_{x \to (-1)'} f(x) = +\infty\) nên \(x = -1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

\(\lim_{x \to (1)} f(x) = -\infty\) và \(\lim_{x \to (1)'} f(x) = +\infty\) nên \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

\(\Rightarrow\) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có hai đường tiệm cận đứng là \(x = \pm 1\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án đúng là C.