Xét phép thử T có 2 biến cố A và B. Chứng minh rằng

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là bài toán về xác suất có điều kiện và quy tắc xác suất toàn phần. Yêu cầu của bài toán là tính toán xác suất dựa trên các thông tin đã cho về sự phân bố của đối tượng bảo hiểm và tỷ lệ rủi ro của từng loại đối tượng đó.

Phần a) yêu cầu tính tỷ lệ khách hàng gặp rủi ro của công ty. Để giải quyết phần này, chúng ta cần áp dụng quy tắc xác suất toàn phần. Ta coi biến cố A là 'khách hàng gặp rủi ro'. Các biến cố A, B, C lần lượt là khách hàng thuộc loại A, B, C. Các xác suất P(A) = 0.30, P(B) = 0.45, P(C) = 0.25 đã cho. Tỷ lệ gặp rủi ro của các đối tượng A, B, C lần lượt là P(R|A) = 0.05, P(R|B) = 0.01, P(R|C) = 0.005. Theo quy tắc xác suất toàn phần, xác suất gặp rủi ro chung của công ty là P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B) + P(R|C)P(C).

Phần b) yêu cầu tính xác suất để khách hàng đó thuộc loại C, biết rằng khách hàng đó đã gặp rủi ro. Đây là bài toán áp dụng công thức Bayes. Ta cần tính P(C|R). Theo công thức Bayes, P(C|R) = [P(R|C)P(C)] / P(R). Giá trị P(R) đã được tính ở phần a). Do đó, ta chỉ cần thay các giá trị đã biết vào công thức để tìm kết quả.

Các bước giải chi tiết như sau:

Phần a): Tính tỷ lệ khách hàng gặp rủi ro.
Gọi A, B, C là các biến cố khách hàng thuộc loại A, B, C.
Ta có các xác suất ban đầu:
P(A) = 0.30
P(B) = 0.45
P(C) = 0.25

Gọi R là biến cố khách hàng gặp rủi ro.
Ta có các xác suất có điều kiện:
P(R|A) = 0.05
P(R|B) = 0.01
P(R|C) = 0.005

Áp dụng quy tắc xác suất toàn phần:
P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B) + P(R|C)P(C)
P(R) = (0.05 * 0.30) + (0.01 * 0.45) + (0.005 * 0.25)
P(R) = 0.015 + 0.0045 + 0.00125
P(R) = 0.02075

Vậy, tỷ lệ khách hàng gặp rủi ro của công ty bảo hiểm đó là 0.02075 hay 2.075%.

Phần b): Giả sử đã chọn được một khách hàng gặp rủi ro. Tính xác suất để khách hàng đó thuộc loại C.
Ta cần tính P(C|R). Áp dụng công thức Bayes:
P(C|R) = [P(R|C)P(C)] / P(R)
P(C|R) = (0.005 * 0.25) / 0.02075
P(C|R) = 0.00125 / 0.02075
P(C|R) ≈ 0.06024

Vậy, xác suất để khách hàng gặp rủi ro thuộc loại C là khoảng 0.06024 hay 6.024%.

Do đây là câu hỏi tự luận, không có các lựa chọn đáp án để đánh giá tính đúng sai theo định dạng `answer_iscorrect`, mà thay vào đó chúng ta cung cấp lời giải chi tiết. Tuy nhiên, nếu buộc phải chọn một giá trị từ một tập hợp các đáp án đã cho, thì cần phải so sánh kết quả tính toán với các đáp án đó. Trong trường hợp này, không có đáp án được cung cấp, nên trường `answer_iscorrect` sẽ không áp dụng.

Câu hỏi này yêu cầu chúng ta xác định các giá trị chưa biết (x, y) trong bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X và sau đó tính phương sai của biến ngẫu nhiên này. Đây là một bài tập cơ bản về lý thuyết xác suất, kiểm tra hiểu biết về các tính chất của bảng phân phối xác suất và công thức tính kỳ vọng, phương sai.

Phần a) Tìm x, y:
Để tìm x và y, chúng ta sử dụng hai tính chất cơ bản của bảng phân phối xác suất:
1. Tổng tất cả các xác suất phải bằng 1: P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1.
Thay các giá trị từ bảng vào, ta có: x + 0.2 + y + 0.4 = 1.
Suy ra: x + y = 1 - 0.2 - 0.4 = 0.4. (Phương trình 1)

2. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là E(X) = Σ [xi * P(X=xi)]. Đề bài cho E(X) = 2.0.
Thay các giá trị từ bảng vào, ta có: (0 * x) + (1 * 0.2) + (2 * y) + (3 * 0.4) = 2.0.
Suy ra: 0 + 0.2 + 2y + 1.2 = 2.0.
2y + 1.4 = 2.0.
2y = 2.0 - 1.4 = 0.6.
y = 0.6 / 2 = 0.3.

Sau khi tìm được y = 0.3, thay vào Phương trình 1 để tìm x:
x + 0.3 = 0.4.
x = 0.4 - 0.3 = 0.1.
Vậy, x = 0.1 và y = 0.3.

Phần b) Tìm V(X):
Phương sai của biến ngẫu nhiên X được tính theo công thức: V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.
Chúng ta đã biết E(X) = 2.0. Bây giờ, chúng ta cần tính E(X^2).

E(X^2) = Σ [xi^2 * P(X=xi)]
Thay các giá trị từ bảng (với x=0.1 và y=0.3) vào, ta có:
E(X^2) = (0^2 * 0.1) + (1^2 * 0.2) + (2^2 * 0.3) + (3^2 * 0.4)
E(X^2) = (0 * 0.1) + (1 * 0.2) + (4 * 0.3) + (9 * 0.4)
E(X^2) = 0 + 0.2 + 1.2 + 3.6
E(X^2) = 5.0.

Bây giờ, ta tính phương sai V(X):
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
V(X) = 5.0 - (2.0)^2
V(X) = 5.0 - 4.0
V(X) = 1.0.

Kết luận:
a) x = 0.1, y = 0.3.
b) V(X) = 1.0.

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị trung bình (μ) của phân phối chuẩn cho giá chứng khoán ABC, biết rằng phương sai là 1 và xác suất để giá chứng khoán lớn hơn 400.000 VNĐ là 84,13%.

Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng các kiến thức về phân phối chuẩn và cách tính xác suất dựa trên biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Z. Phân phối của giá chứng khoán X tuân theo phân phối chuẩn N(μ; 1). Ta có:

P(X > 400.000) = 0.8413

Chúng ta cần chuẩn hóa biến X thành biến Z theo công thức: Z = (X - μ) / σ, trong đó σ là độ lệch chuẩn. Ở đây, phương sai là 1, nên độ lệch chuẩn σ = √1 = 1.

Do đó, Z = (X - μ) / 1 = X - μ.

Khi X = 400.000, Z sẽ là (400.000 - μ) / 1 = 400.000 - μ.

Bây giờ, chúng ta chuyển đổi xác suất đã cho sang biến Z:
P(X > 400.000) = P(Z > 400.000 - μ) = 0.8413.

Tuy nhiên, bảng phân phối chuẩn thường cho xác suất tích lũy từ âm vô cùng đến một giá trị Z, tức là P(Z ≤ z). Ta biết rằng P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a). Do đó:

1 - P(Z ≤ 400.000 - μ) = 0.8413

P(Z ≤ 400.000 - μ) = 1 - 0.8413 = 0.1587.

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị z₀ sao cho P(Z ≤ z₀) = 0.1587 từ bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối chuẩn. Tra bảng phân phối Z (hoặc sử dụng máy tính/phần mềm thống kê), ta thấy rằng giá trị z₀ tương ứng với xác suất 0.1587 là khoảng -1.00.

Do đó, ta có:

400.000 - μ = -1.00

Giải phương trình này để tìm μ:

μ = 400.000 - (-1.00) = 400.000 + 1.00 = 401.00.

Vậy, giá trị trung bình μ của phân phối chuẩn là 401.00 (đơn vị: 100.000 VNĐ). Điều này có nghĩa là giá trị trung bình của chứng khoán là 401.00 * 100.000 = 40.100.000 VNĐ.

Lưu ý: Đơn vị của μ trong câu hỏi là 100.000 VNĐ, vì vậy giá trị tìm được là 401, nghĩa là 401 * 100.000 VNĐ = 40.100.000 VNĐ. Tuy nhiên, trong câu hỏi gốc, giá trị 400.000 VNĐ là 4 đơn vị (4 * 100.000 VNĐ). Nếu giữ nguyên đơn vị 100.000 VNĐ cho tất cả các giá trị, thì 400.000 VNĐ tương ứng với 4. Khi đó:

P(X > 4) = 0.8413. Độ lệch chuẩn σ = 1.

Z = (X - μ) / 1.

P(Z > 4 - μ) = 0.8413.

1 - P(Z ≤ 4 - μ) = 0.8413.

P(Z ≤ 4 - μ) = 0.1587.

Tra bảng Z, ta có 4 - μ ≈ -1.00.

μ ≈ 4 - (-1.00) = 4 + 1 = 5.

Vậy μ = 5 (đơn vị: 100.000 VNĐ). Giá trị trung bình là 5 * 100.000 VNĐ = 500.000 VNĐ.

Kiểm tra lại: Nếu μ = 5 và σ = 1, thì P(X > 4) = P(Z > (4-5)/1) = P(Z > -1) = 1 - P(Z ≤ -1) = 1 - 0.1587 = 0.8413. Điều này khớp với đề bài.

Do đó, đáp án đúng là μ = 5.

Câu hỏi này yêu cầu áp dụng các kiến thức về thống kê mẫu, bao gồm tính toán trung bình và phương sai của mẫu, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình và tỷ lệ tổng thể, và thực hiện kiểm định giả thuyết. Dưới đây là phân tích chi tiết các bước để giải quyết từng phần:

a) Tính trung bình và phương sai của mẫu:
Để tính trung bình mẫu (x̄) và phương sai mẫu (s²), ta cần sử dụng dữ liệu nhóm. Công thức cho trung bình mẫu là x̄ = Σ(xi * ni) / n, trong đó xi là giá trị trung tâm của mỗi lớp và ni là tần số của lớp đó, còn n là tổng số quan sát. Phương sai mẫu có thể tính theo công thức s² = [Σ((xi - x̄)² * ni)] / (n - 1) hoặc s² = [Σ(xi² * ni) - n * x̄²] / (n - 1).

b) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho giá trung bình:
Với kích thước mẫu lớn (n=100), ta có thể sử dụng phân phối chuẩn. Khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình tổng thể (μ) với độ tin cậy 1-α được tính theo công thức: x̄ ± z(α/2) * (s / √n). Đối với độ tin cậy 95% (1-α = 0.95), α = 0.05, α/2 = 0.025, và giá trị z(0.025) là khoảng 1.96. s là độ lệch chuẩn mẫu đã tính ở phần a.

c) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ phiên có giá ít nhất 500:
Đầu tiên, xác định số lượng phiên có giá ít nhất 500 từ bảng dữ liệu. Tính tỷ lệ mẫu (p̂) bằng cách lấy số phiên thỏa mãn chia cho tổng số phiên (n=100). Sau đó, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ tổng thể (p) theo công thức: p̂ ± z(α/2) * √(p̂(1-p̂)/n), với z(α/2) ≈ 1.96.

d) Kiểm định giả thuyết về giá cổ phiếu trung bình:
Giả thuyết không (H0): μ = 485 (giá trung bình năm nay bằng năm trước).
Giả thuyết đối (H1): μ > 485 (giá trung bình năm nay cao hơn năm trước).
Với mức ý nghĩa 5% (α = 0.05) và kích thước mẫu lớn, ta sử dụng kiểm định z. Thống kê kiểm định là z_cal = (x̄ - μ₀) / (s / √n), trong đó μ₀ = 485 là giá trị trung bình dưới H0, x̄ là trung bình mẫu, s là độ lệch chuẩn mẫu, và n=100. Ta so sánh z_cal với giá trị tới hạn z(α) = z(0.05) ≈ 1.645 (vì đây là kiểm định một phía). Nếu z_cal > 1.645, ta bác bỏ H0 và kết luận giá trung bình năm nay cao hơn năm trước.