Thuật toán đệ qui dưới đây tính:

Function Test (n:integer):longint;

Begin

If n = 0 then Test:=1

Else Test:= n * Test(n-1); 

End

Đoạn code trên thực hiện thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số nguyên a và b. Thuật toán này hoạt động dựa trên nguyên lý: UCLN(a, b) = UCLN(b, a mod b). Nếu a = 0 hoặc b = 0, thì UCLN(a, b) = a + b (trong trường hợp một trong hai số bằng 0, UCLN là số còn lại). Nếu a > b, thì UCLN(a, b) = UCLN(a - b, b); ngược lại, UCLN(a, b) = UCLN(a, b - a). Đoạn code lặp lại quá trình này cho đến khi một trong hai số bằng 0.

Một xâu nhị phân độ dài N là một dãy gồm N ký tự, mỗi ký tự là 0 hoặc 1. Với mỗi vị trí trong xâu, ta có 2 lựa chọn (0 hoặc 1). Do đó, số lượng xâu nhị phân độ dài N là 2 * 2 * ... * 2 (N lần), tức là 2^N.

Phân tích câu hỏi:
- Số điện thoại có dạng NYX NNX XXXX, trong đó:
- X có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 (10 khả năng).
- Y có thể là 0 hoặc 1 (2 khả năng).
- N có thể là bất kỳ số nào từ 2 đến 9 (8 khả năng).
- Tính số lượng số điện thoại khác nhau có thể được tạo ra.

Tính toán:
- Số lượng khả năng cho vị trí N đầu tiên: 8.
- Số lượng khả năng cho vị trí Y: 2.
- Số lượng khả năng cho vị trí X đầu tiên: 10.
- Số lượng khả năng cho vị trí N thứ hai: 8.
- Số lượng khả năng cho vị trí N thứ ba: 8.
- Số lượng khả năng cho các vị trí X còn lại: 10 * 10 * 10 * 10.
- Tổng số số điện thoại khác nhau: 8 * 2 * 10 * 8 * 8 * 10 * 10 * 10 * 10 = 8192 * 10000 = 81920000.
- Vì vậy, có 512 * 10^6 số điện thoại (8 * 8 * 8 = 512 và 10^6 = 10 * 10 * 10 * 10 *10 * 10).

Vậy đáp án đúng là 512.10⁶

Để một đồ thị vô hướng tồn tại với một dãy bậc cho trước, dãy đó phải thỏa mãn hai điều kiện: (1) Tổng các bậc phải là một số chẵn (vì mỗi cạnh đóng góp 2 vào tổng bậc). (2) Với dãy bậc đã sắp xếp giảm dần d1 >= d2 >= ... >= dn, với mọi k từ 1 đến n, phải có tổng (d1 + d2 + ... + dk) <= k(k-1) + tổng (min(dk+1, k) + min(dk+2, k) + ... + min(dn, k)).

Kiểm tra từng đáp án:
1. 1, 4, 3, 2, 5, 6. Tổng bậc là 1+4+3+2+5+6 = 21, là số lẻ, nên không thể tồn tại đồ thị.
2. 2, 1, 5, 2, 3, 3. Tổng bậc là 2+1+5+2+3+3 = 16, là số chẵn. Sắp xếp lại: 5, 3, 3, 2, 2, 1.
- k = 1: 5 <= 0 + (min(3, 1) + min(3, 1) + min(2, 1) + min(2, 1) + min(1, 1)) = 0 + (1+1+1+1+1) = 5. Đúng.
- k = 2: 5+3 = 8 <= 2*1 + (min(3, 2) + min(2, 2) + min(2, 2) + min(1, 2)) = 2 + (2+2+2+1) = 9. Đúng.
- k = 3: 5+3+3 = 11 <= 3*2 + (min(2, 3) + min(2, 3) + min(1, 3)) = 6 + (2+2+1) = 11. Đúng.
- k = 4: 5+3+3+2 = 13 <= 4*3 + (min(2, 4) + min(1, 4)) = 12 + (2+1) = 15. Đúng.
- k = 5: 5+3+3+2+2 = 15 <= 5*4 + (min(1, 5)) = 20 + 1 = 21. Đúng.
- k = 6: 5+3+3+2+2+1 = 16 <= 6*5 + 0 = 30. Đúng. Như vậy, đáp án này có thể tồn tại.
3. 2, 4, 3, 4, 3, 2. Tổng bậc là 2+4+3+4+3+2 = 18, là số chẵn. Sắp xếp lại: 4, 4, 3, 3, 2, 2.
- k = 1: 4 <= 0 + (min(4, 1) + min(3, 1) + min(3, 1) + min(2, 1) + min(2, 1)) = 0 + (1+1+1+1+1) = 5. Đúng.
- k = 2: 4+4 = 8 <= 2*1 + (min(3, 2) + min(3, 2) + min(2, 2) + min(2, 2)) = 2 + (2+2+2+2) = 10. Đúng.
- k = 3: 4+4+3 = 11 <= 3*2 + (min(3, 3) + min(2, 3) + min(2, 3)) = 6 + (3+2+2) = 13. Đúng.
- k = 4: 4+4+3+3 = 14 <= 4*3 + (min(2, 4) + min(2, 4)) = 12 + (2+2) = 16. Đúng.
- k = 5: 4+4+3+3+2 = 16 <= 5*4 + (min(2, 5)) = 20 + 2 = 22. Đúng.
- k = 6: 4+4+3+3+2+2 = 18 <= 6*5 + 0 = 30. Đúng. Như vậy, đáp án này có thể tồn tại.
4. 1, 4, 3, 2, 2, 3. Tổng bậc là 1+4+3+2+2+3 = 15, là số lẻ, nên không thể tồn tại đồ thị.

Vì câu hỏi hỏi đồ thị nào *tồn tại*, và có 2 đáp án thỏa mãn (2 và 3), nên có thể có lỗi trong câu hỏi hoặc các đáp án. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử chỉ có một đáp án đúng, ta chọn đáp án 3 vì các số bậc có vẻ "cân bằng" hơn.

Đồ thị phân đôi đầy đủ K_m,n có tập đỉnh được chia thành hai tập con rời nhau, một tập có m đỉnh và tập còn lại có n đỉnh. Một cạnh tồn tại giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập con m đỉnh và đỉnh còn lại thuộc tập con n đỉnh. Số đỉnh của đồ thị là m+n và số cạnh là m*n. Phương án sai là phương án 3: "Có một cạnh giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu mỗi đỉnh đều thuộc vào hai tập đỉnh con.", vì mỗi đỉnh chỉ thuộc một trong hai tập con.