Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài N.

Phân tích câu hỏi:
- Số điện thoại có dạng NYX NNX XXXX, trong đó:
- X có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 (10 khả năng).
- Y có thể là 0 hoặc 1 (2 khả năng).
- N có thể là bất kỳ số nào từ 2 đến 9 (8 khả năng).
- Tính số lượng số điện thoại khác nhau có thể được tạo ra.

Tính toán:
- Số lượng khả năng cho vị trí N đầu tiên: 8.
- Số lượng khả năng cho vị trí Y: 2.
- Số lượng khả năng cho vị trí X đầu tiên: 10.
- Số lượng khả năng cho vị trí N thứ hai: 8.
- Số lượng khả năng cho vị trí N thứ ba: 8.
- Số lượng khả năng cho các vị trí X còn lại: 10 * 10 * 10 * 10.
- Tổng số số điện thoại khác nhau: 8 * 2 * 10 * 8 * 8 * 10 * 10 * 10 * 10 = 8192 * 10000 = 81920000.
- Vì vậy, có 512 * 10^6 số điện thoại (8 * 8 * 8 = 512 và 10^6 = 10 * 10 * 10 * 10 *10 * 10).

Vậy đáp án đúng là 512.10⁶

Để một đồ thị vô hướng tồn tại với một dãy bậc cho trước, dãy đó phải thỏa mãn hai điều kiện: (1) Tổng các bậc phải là một số chẵn (vì mỗi cạnh đóng góp 2 vào tổng bậc). (2) Với dãy bậc đã sắp xếp giảm dần d1 >= d2 >= ... >= dn, với mọi k từ 1 đến n, phải có tổng (d1 + d2 + ... + dk) <= k(k-1) + tổng (min(dk+1, k) + min(dk+2, k) + ... + min(dn, k)).

Kiểm tra từng đáp án:
1. 1, 4, 3, 2, 5, 6. Tổng bậc là 1+4+3+2+5+6 = 21, là số lẻ, nên không thể tồn tại đồ thị.
2. 2, 1, 5, 2, 3, 3. Tổng bậc là 2+1+5+2+3+3 = 16, là số chẵn. Sắp xếp lại: 5, 3, 3, 2, 2, 1.
- k = 1: 5 <= 0 + (min(3, 1) + min(3, 1) + min(2, 1) + min(2, 1) + min(1, 1)) = 0 + (1+1+1+1+1) = 5. Đúng.
- k = 2: 5+3 = 8 <= 2*1 + (min(3, 2) + min(2, 2) + min(2, 2) + min(1, 2)) = 2 + (2+2+2+1) = 9. Đúng.
- k = 3: 5+3+3 = 11 <= 3*2 + (min(2, 3) + min(2, 3) + min(1, 3)) = 6 + (2+2+1) = 11. Đúng.
- k = 4: 5+3+3+2 = 13 <= 4*3 + (min(2, 4) + min(1, 4)) = 12 + (2+1) = 15. Đúng.
- k = 5: 5+3+3+2+2 = 15 <= 5*4 + (min(1, 5)) = 20 + 1 = 21. Đúng.
- k = 6: 5+3+3+2+2+1 = 16 <= 6*5 + 0 = 30. Đúng. Như vậy, đáp án này có thể tồn tại.
3. 2, 4, 3, 4, 3, 2. Tổng bậc là 2+4+3+4+3+2 = 18, là số chẵn. Sắp xếp lại: 4, 4, 3, 3, 2, 2.
- k = 1: 4 <= 0 + (min(4, 1) + min(3, 1) + min(3, 1) + min(2, 1) + min(2, 1)) = 0 + (1+1+1+1+1) = 5. Đúng.
- k = 2: 4+4 = 8 <= 2*1 + (min(3, 2) + min(3, 2) + min(2, 2) + min(2, 2)) = 2 + (2+2+2+2) = 10. Đúng.
- k = 3: 4+4+3 = 11 <= 3*2 + (min(3, 3) + min(2, 3) + min(2, 3)) = 6 + (3+2+2) = 13. Đúng.
- k = 4: 4+4+3+3 = 14 <= 4*3 + (min(2, 4) + min(2, 4)) = 12 + (2+2) = 16. Đúng.
- k = 5: 4+4+3+3+2 = 16 <= 5*4 + (min(2, 5)) = 20 + 2 = 22. Đúng.
- k = 6: 4+4+3+3+2+2 = 18 <= 6*5 + 0 = 30. Đúng. Như vậy, đáp án này có thể tồn tại.
4. 1, 4, 3, 2, 2, 3. Tổng bậc là 1+4+3+2+2+3 = 15, là số lẻ, nên không thể tồn tại đồ thị.

Vì câu hỏi hỏi đồ thị nào *tồn tại*, và có 2 đáp án thỏa mãn (2 và 3), nên có thể có lỗi trong câu hỏi hoặc các đáp án. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử chỉ có một đáp án đúng, ta chọn đáp án 3 vì các số bậc có vẻ "cân bằng" hơn.

Đồ thị phân đôi đầy đủ K_m,n có tập đỉnh được chia thành hai tập con rời nhau, một tập có m đỉnh và tập còn lại có n đỉnh. Một cạnh tồn tại giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập con m đỉnh và đỉnh còn lại thuộc tập con n đỉnh. Số đỉnh của đồ thị là m+n và số cạnh là m*n. Phương án sai là phương án 3: "Có một cạnh giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu mỗi đỉnh đều thuộc vào hai tập đỉnh con.", vì mỗi đỉnh chỉ thuộc một trong hai tập con.

Một đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông mạnh nếu giữa hai đỉnh bất kỳ u, v thuộc V, luôn tồn tại đường đi từ u đến v và ngược lại, từ v đến u. Điều này có nghĩa là ta có thể đi từ bất kỳ đỉnh nào đến bất kỳ đỉnh nào khác trong đồ thị theo cả hai chiều.