Hoán vị nào dưới đây là hoán vị kế tiếp của hoán vị 2 1 3 4 5 6 7 8 9.

Thuật toán quay lui (Backtracking) là một kỹ thuật giải quyết vấn đề bằng cách xây dựng nghiệm từng bước một. Tại mỗi bước, thuật toán sẽ thử tất cả các khả năng có thể cho thành phần tiếp theo của nghiệm. Nếu một khả năng dẫn đến một nghiệm không hợp lệ, thuật toán sẽ quay lui (backtrack) và thử một khả năng khác. Như vậy, nội dung chính của thuật toán quay lui là xây dựng dần các thành phần của cấu hình bằng cách thử tất cả các khả năng cho đến khi tìm được cấu hình thỏa mãn hoặc không còn khả năng nào để thử.

Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k thành phần, mỗi thành phần được chọn từ n phần tử đã cho, và các phần tử có thể lặp lại. Do đó, đáp án chính xác là phương án 2. Các phương án khác không đúng vì:
- Phương án 1: Yêu cầu các phần tử không được lặp lại, điều này không đúng với định nghĩa của chỉnh hợp lặp.
- Phương án 3: Đề cập đến bộ không kể thứ tự, trong khi chỉnh hợp là một bộ có thứ tự.
- Phương án 4: Đề cập đến cách xếp có thứ tự n phần tử, đây là hoán vị, không phải chỉnh hợp lặp chập k.

Đoạn chương trình sử dụng vòng lặp Repeat...Until. Ta cần tìm giá trị của i sau khi vòng lặp kết thúc.

Ban đầu: m = 4, n = 5, i = 5.

Vòng lặp:
- Lần 1: i = 5 + 1 = 6. Điều kiện (6 Mod 4 = 0) and (6 Mod 5 = 0) là (2 = 0) and (1 = 0) là sai.
- Lần 2: i = 6 + 1 = 7. Điều kiện (7 Mod 4 = 0) and (7 Mod 5 = 0) là (3 = 0) and (2 = 0) là sai.
- Lần 3: i = 7 + 1 = 8. Điều kiện (8 Mod 4 = 0) and (8 Mod 5 = 0) là (0 = 0) and (3 = 0) là sai.
- Lần 4: i = 8 + 1 = 9. Điều kiện (9 Mod 4 = 0) and (9 Mod 5 = 0) là (1 = 0) and (4 = 0) là sai.
- Lần 5: i = 9 + 1 = 10. Điều kiện (10 Mod 4 = 0) and (10 Mod 5 = 0) là (2 = 0) and (0 = 0) là sai.
- Lần 6: i = 10 + 1 = 11. Điều kiện (11 Mod 4 = 0) and (11 Mod 5 = 0) là (3 = 0) and (1 = 0) là sai.
- Lần 7: i = 11 + 1 = 12. Điều kiện (12 Mod 4 = 0) and (12 Mod 5 = 0) là (0 = 0) and (2 = 0) là sai.
- Lần 8: i = 12 + 1 = 13. Điều kiện (13 Mod 4 = 0) and (13 Mod 5 = 0) là (1 = 0) and (3 = 0) là sai.
- Lần 9: i = 13 + 1 = 14. Điều kiện (14 Mod 4 = 0) and (14 Mod 5 = 0) là (2 = 0) and (4 = 0) là sai.
- Lần 10: i = 14 + 1 = 15. Điều kiện (15 Mod 4 = 0) and (15 Mod 5 = 0) là (3 = 0) and (0 = 0) là sai.
- Lần 11: i = 15 + 1 = 16. Điều kiện (16 Mod 4 = 0) and (16 Mod 5 = 0) là (0 = 0) and (1 = 0) là sai.
- Lần 12: i = 16 + 1 = 17. Điều kiện (17 Mod 4 = 0) and (17 Mod 5 = 0) là (1 = 0) and (2 = 0) là sai.
- Lần 13: i = 17 + 1 = 18. Điều kiện (18 Mod 4 = 0) and (18 Mod 5 = 0) là (2 = 0) and (3 = 0) là sai.
- Lần 14: i = 18 + 1 = 19. Điều kiện (19 Mod 4 = 0) and (19 Mod 5 = 0) là (3 = 0) and (4 = 0) là sai.
- Lần 15: i = 19 + 1 = 20. Điều kiện (20 Mod 4 = 0) and (20 Mod 5 = 0) là (0 = 0) and (0 = 0) là đúng.

Vậy giá trị cuối cùng của i là 20.

Số các số lẻ không vượt quá 100 là 50 (1, 3, 5,..., 99). Các số chính phương không vượt quá 100 là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Trong đó các số chính phương lẻ là: 1, 9, 25, 49, 81 (5 số). Vậy số các số hoặc lẻ hoặc là bình phương của một số nguyên là: 50 + 10 - 5 = 55.

Số các số nguyên dương có 3 chữ số chia hết cho 3 là:
Số nhỏ nhất là 102, số lớn nhất là 999. Vậy có (999-102)/3 + 1 = 300 số.
Số các số nguyên dương có 3 chữ số chia hết cho 3 và 4 (tức là chia hết cho 12) là:
Số nhỏ nhất là 108, số lớn nhất là 996. Vậy có (996-108)/12 + 1 = 75+1=75 số.
Vậy số các số nguyên dương có 3 chữ số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4 là: 300 - 75 = 225.
Vì không có đáp án nào đúng, ta sẽ phân tích lại.
Số các số chia hết cho 3: (999-102)/3 + 1 = 300
Số các số chia hết cho 12: (996-108)/12 + 1 = 74+1 = 75
Số các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4: 300 - 75 = 225. Vậy không có đáp án đúng trong các đáp án đã cho.

Tuy nhiên, nếu ta tính số các số chia hết cho 3 có 3 chữ số: 300
Số các số chia hết cho 12 có 3 chữ số: 75
Vậy số các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4: 300 - 75 = 225.
Xem xét lại các đáp án, không có đáp án nào đúng, nhưng đáp án gần đúng nhất là 224. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án.