Một nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị là . Hãy giải thích ý nghĩa của phần tử a12?

Để giải bài toán này, ta sử dụng mô hình Leontief (Input-Output). Công thức tính tổng sản lượng X là: X = (I - A)^(-1) * Y, trong đó:

* I là ma trận đơn vị.
* A là ma trận hệ số chi phí trực tiếp.
* Y là vector nhu cầu cuối cùng.

Trong bài toán này:

* A = [[0.2, 0.3],
[0.4, 0.1]]
* Y = [[10],
[10]]

Bước 1: Tính (I - A):

I - A = [[1, 0],
[0, 1]] - [[0.2, 0.3],
[0.4, 0.1]]

I - A = [[0.8, -0.3],
[-0.4, 0.9]]

Bước 2: Tính ma trận nghịch đảo (I - A)^(-1):

(I - A)^(-1) = 1 / (0.8*0.9 - (-0.3)*(-0.4)) * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = 1 / (0.72 - 0.12) * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = 1 / 0.6 * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = [[1.5, 0.5],
[0.6667, 1.3333]]

Bước 3: Tính X = (I - A)^(-1) * Y

X = [[1.5, 0.5],
[0.6667, 1.3333]] * [[10],
[10]]

X = [[1.5 * 10 + 0.5 * 10],
[0.6667 * 10 + 1.3333 * 10]]

X = [[15 + 5],
[6.667 + 13.333]]

X = [[20],
[20]]

Vậy, X = (20; 20). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp. Có lẽ, trong quá trình tính toán, có sai số làm tròn hoặc đề bài có sự nhầm lẫn. Nếu theo quy trình giải, đáp án gần đúng nhất có thể là D. X = (30; 20) nhưng không có cơ sở chắc chắn.

Kết luận: Không có đáp án chính xác hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho.

Để tìm vector nhu cầu cuối cùng, ta sử dụng công thức: Nhu cầu cuối = Tổng cầu - (Ma trận hệ số chi phí trực tiếp * Tổng cầu).

Trong trường hợp này, ta có:

Tổng cầu X = (200; 400)
Ma trận hệ số chi phí trực tiếp A = [[0.4, 0.2],[0.1, 0.2]]

Khi đó, nhu cầu cuối cùng Y = X - A * X. Ta thực hiện phép tính:

AX = [[0.4, 0.2],[0.1, 0.2]] * [200, 400] = [0.4*200 + 0.2*400, 0.1*200 + 0.2*400] = [80+80, 20+80] = [160, 100]

Vậy Y = X - AX = [200, 400] - [160, 100] = [200-160, 400-100] = [40, 300]

Vì không có đáp án nào trùng với kết quả [40, 300], đáp án đúng là: D. Tất cả các đáp án khác đều sai.

Để giải bài này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính ma trận (E - A):
* E là ma trận đơn vị cấp 2: `[[1, 0], [0, 1]]`
* A là ma trận hệ số chi phí trực tiếp đã cho: `[[0.2, 0.2], [0.3, 0.1]]`
* (E - A) = `[[1-0.2, 0-0.2], [0-0.3, 1-0.1]]` = `[[0.8, -0.2], [-0.3, 0.9]]`

2. Tính ma trận nghịch đảo C = (E - A)^(-1):
* Cho ma trận 2x2 `[[a, b], [c, d]]`, ma trận nghịch đảo là `(1/(ad - bc)) * [[d, -b], [-c, a]]`
* Trong trường hợp này, a = 0.8, b = -0.2, c = -0.3, d = 0.9
* det(E - A) = (0.8 * 0.9) - (-0.2 * -0.3) = 0.72 - 0.06 = 0.66
* C = (1/0.66) * `[[0.9, 0.2], [0.3, 0.8]]` = `[[0.9/0.66, 0.2/0.66], [0.3/0.66, 0.8/0.66]]`

3. Xác định c21:
* c21 là phần tử ở hàng 2, cột 1 của ma trận C.
* c21 = 0.3 / 0.66 ≈ 0.4545

Giá trị này gần nhất với phương án C. c21 = 0, 456

Trong mô hình Input-Output, ma trận hệ số C=(E−A)^(-1) (ma trận nghịch đảo Leontief) cho biết lượng sản phẩm của mỗi ngành cần thiết để sản xuất ra một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của mỗi ngành. Cụ thể, phần tử c_(ij) của ma trận C cho biết lượng sản phẩm của ngành i cần thiết để sản xuất ra một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j.

Trong trường hợp này, c_22 = 1.15 có nghĩa là để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành 2, thì ngành 2 phải sản xuất một lượng sản phẩm là 1.15.

Như vậy, đáp án đúng là:
C. c₂₂ cho biết để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành 2 thì ngành 2 phải sản xuất một lượng sản phẩm là c₂₂ =1,15.

Để tìm giá cân bằng, ta giải hệ phương trình:

* p1 = 8 - 2p2
* p2 = 6 - p1

Thay phương trình (2) vào (1), ta có:
p1 = 8 - 2(6 - p1)
p1 = 8 - 12 + 2p1
p1 = -4 + 2p1
p1 - 2p1 = -4
-p1 = -4
p1 = 4

Thay p1 = 4 vào phương trình (2), ta có:
p2 = 6 - 4
p2 = 2

Vậy, không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, nếu đề bài có sự nhầm lẫn về số liệu thì ta giải thích cách làm như trên. Giá cân bằng thực tế là p1 = 4 và p2 = 2.