Câu hỏi:

Ta có \(4{{f}^{2}}\left( x \right)-9=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\frac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f\left( x \right)=\frac{3}{2}\,\left( 1 \right) \\ f\left( x \right)=\frac{-3}{2}\,\left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.\).

Dựa vào bảng biến thiên: phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm.

Hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên đoạn \(\left[ 0\,;\,2 \right]\).

Ta có: \(y=-3{{x}^{2}}+3\).

Xét \(y=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\notin \left[ 0\,;\,2 \right.] \\ & x=1\in \left[ 0\,;\,2 \right.] \\ \end{align} \right.\).

Ta có: \(y\left( 1 \right)=-1+3=2\); \(y\left( 0 \right)=0\) và \(y\left( 2 \right)=-8+6=-2\).

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0\,;\,2 \right]}{\mathop{\text{maxy}}}\,\,=2\).

Đường thẳng \(y=ax+b\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\,\left[ f\left( x \right)-\left( ax+b \right) \right]=0\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\,\left[ f\left( x \right)-\left( ax+b \right) \right]=0\).

Đây là định nghĩa chuẩn của tiệm cận xiên. Các đáp án khác không phù hợp với định nghĩa này.

+ Phương án \(y=\frac{-2x+3}{x+1}\): đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( 0\,;\,3 \right)\) loại;

+ Phương án \(y=\frac{3x+4}{x-1}\): đồ thị cắt trục tung tại điểm \(B\left( 0\,;\,-4 \right)\) thỏa mãn.

+ Phương án \(y=\frac{4x+1}{x+2}\): đồ thị cắt trục tung tại điểm \(C\left( 0\,;\,\frac{1}{2} \right)\) loại;

+ Phương án \(y=\frac{2x-3}{3x-1}\): đồ thị cắt trục tung tại điểm \(D\left( 0\,;\,3 \right)\) loại.

Thay tọa độ điểm \(M\) vào hàm số ta được: \(-1+3-2=0\) do đó điểm \(M\left( 1\,;\,0 \right)\) thuộc đồ thị hàm số.