Câu hỏi:

Ta có:

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos 160^\circ + (-1)$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos (180^\circ - 20^\circ) + (-1)$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

Nhân cả hai vế cho $2\sin 10^\circ$:

$2\sin 10^\circ S = 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 40^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 60^\circ + ... + 2\sin 10^\circ \cos 160^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 180^\circ$

Sử dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$:

$2\sin 10^\circ S = (\sin 30^\circ - \sin 10^\circ) + (\sin 50^\circ - \sin 30^\circ) + (\sin 70^\circ - \sin 50^\circ) + ... + (\sin 170^\circ - \sin 150^\circ) + (\sin 190^\circ - \sin 170^\circ)$

$2\sin 10^\circ S = -\sin 10^\circ + \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ - \sin 10^\circ = -2\sin 10^\circ$

$S = -1$

Hoặc có thể giải nhanh bằng:

$\cos(x) + \cos(x+d) + \cos(x+2d) + ... + \cos(x + (n-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2})}{\sin(\frac{d}{2})}\cos(x + \frac{(n-1)d}{2})$

Trong trường hợp này: $x = 20^\circ, d = 20^\circ, n = 9$

$S = \frac{\sin(\frac{9 \cdot 20^\circ}{2})}{\sin(\frac{20^\circ}{2})}\cos(20^\circ + \frac{8 \cdot 20^\circ}{2}) = \frac{\sin(90^\circ)}{\sin(10^\circ)}\cos(100^\circ) = \frac{\cos(100^\circ)}{\sin(10^\circ)} = \frac{-\sin(10^\circ)}{\sin(10^\circ)} = -1$