Câu hỏi:

Hình thoi ABCD có $\angle DAB = 60^{\circ}$ nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh 2a.

Suy ra BD = 2a, AO = OC = a$\sqrt{3}$, BO = OD = a.

*Xét đáp án A: $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = 2AO = 2a\sqrt{3}$. Vậy A đúng.

*Xét đáp án D: $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = BD = 2a$. Vì $\angle ABC = 120^\circ$ nên $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = 2a\sqrt{3}$. Vậy D đúng.

*Xét đáp án C: $|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}|$. Vì OB = a và DC = 2a, OB và DC cùng phương, ngược chiều nên $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}| = |-a + 2a| = a$. Vậy C sai.

*Xét đáp án B: $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|$. Ta có $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|^2 = OB^2 + AD^2 + 2OB.AD.\cos(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})$. Ta thấy $\overrightarrow{OB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AD}$ do đó tích vô hướng bằng 0. $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5}$

Nhận thấy đáp án B sai.

Vì M là trung điểm của BC nên ta có $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$.
Khi đó, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{MA}$.
Tuy nhiên, đáp án B cho rằng $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$. Điều này chỉ đúng khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì M là trung điểm BC, ta có $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{0} = - \overrightarrow{AM}$. Do đó, đáp án B đúng.