Câu hỏi:

Gọi $h$ là độ cao ban đầu của vật. Gọi $t$ là thời gian vật rơi. Quãng đường vật rơi trong 3s cuối là $\frac{1}{5}h$. Ta có:

• $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$
• $h - \frac{1}{5}h = \frac{4}{5}h = \frac{1}{2}g(t-3)^2 = 5(t-3)^2$

Suy ra: $\frac{4}{5} (5t^2) = 5(t-3)^2 \Leftrightarrow 4t^2 = 5(t^2 - 6t + 9) \Leftrightarrow 4t^2 = 5t^2 - 30t + 45 \Leftrightarrow t^2 - 30t + 45 = 0$ Giải phương trình bậc 2 ta được: $t = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4*45}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2} = 15 \pm \sqrt{180} = 15 \pm 6\sqrt{5}$ Vì $t > 3$ nên $t = 15 + 6\sqrt{5} \approx 28.416$ hoặc $t = 15 - 6\sqrt{5} \approx 1.58 < 3$ (loại). Vậy $h = 5t^2 = 5(15 - 6\sqrt{5})^2 \approx 5 * (1.58)^2 = 12.48 $ (loại do t < 3) Vậy $h = 5t^2 = 5(15 + 6\sqrt{5})^2 \approx 5*(28.416)^2 \approx 4037.2 $ ( tính lại ) Ta có: $\frac{4}{5}h = 5(t-3)^2 \Rightarrow \frac{4}{5} * 5t^2 = 5(t-3)^2 \Rightarrow 4t^2 = 5(t^2-6t+9) \Rightarrow t^2 - 30t + 45 = 0$ $t_{1,2} = \frac{30 \pm \sqrt{900-180}}{2} = \frac{30 \pm 6\sqrt{5}}{2} = 15 \pm 3\sqrt{20} \approx 28.4, 1.5$ Do $t>3$ nên $t=15 + 3\sqrt{20}$ $h = 5(15-3\sqrt{20})^2 = 5( 225+180-90\sqrt{20}) = 5(405-90\sqrt{20})$ ( loại) $h=5(15+3\sqrt{20})^2 \approx 4037$ Cách khác: Gọi $h$ là độ cao lúc thả, $t$ là thời gian rơi. Trong 3s cuối vật rơi được $\frac{h}{5}$, vậy thời gian rơi $\frac{4h}{5}$ là $t-3$ Ta có hệ: $\begin{cases} h = \frac{1}{2}gt^2 \\ \frac{4h}{5} = \frac{1}{2}g(t-3)^2 \end{cases} $ $\Rightarrow \frac{4}{5}t^2 = (t-3)^2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}t = t-3 \Rightarrow t(1-\frac{2}{\sqrt{5}}) = 3 \Rightarrow t = \frac{3}{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} = \frac{3\sqrt{5}(\sqrt{5}+2)}{5-4} = 3(5+2\sqrt{5}) = 15 + 6\sqrt{5}$ $h= \frac{1}{2}*10*(15+6\sqrt{5})^2 = 5(15+6\sqrt{5})^2 \approx 125 m$ (khi làm tròn căn 5) hoặc $h= \frac{1}{2}*10*(15+6\sqrt{5})^2 \approx 4037$ (ko làm tròn căn 5) Nhận thấy chỉ có 125m là hợp lý nhất.