Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {2{{\sin }^2}x + 4\sin x\cos x - \left( {3 + 2m} \right){{\cos }^2}x + 2} $ xác định với mọi $x$.

Để hàm số xác định với mọi $x$, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x$. Tức là: $2\sin^2 x + 4\sin x \cos x - (3 + 2m)\cos^2 x + 2 \ge 0$ với mọi $x$. $2\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 2m\cos^2 x + 2 \ge 0$ với mọi $x$. $2(\sin^2 x + \cos^2 x) + 4\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 2m\cos^2 x \ge 0$ với mọi $x$. $2 + 2\sin 2x - 3\cos^2 x - 2m\cos^2 x \ge 0$ với mọi $x$. $2 + 2\sin 2x - \frac{3}{2}(1 + \cos 2x) - m(1 + \cos 2x) \ge 0$ với mọi $x$. $2 + 2\sin 2x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x - m - m\cos 2x \ge 0$ với mọi $x$. $\frac{1}{2} + 2\sin 2x - \frac{3}{2}\cos 2x - m - m\cos 2x \ge 0$ với mọi $x$. $2\sin 2x - (\frac{3}{2} + m)\cos 2x + \frac{1}{2} - m \ge 0$ với mọi $x$. Để $a \sin x + b \cos x + c \ge 0$ với mọi $x$ thì $c \ge \sqrt{a^2 + b^2}$. Vậy $\frac{1}{2} - m \ge \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2} + m)^2}$. $\frac{1}{2} - m \ge \sqrt{4 + \frac{9}{4} + 3m + m^2}$. $\frac{1}{2} - m \ge \sqrt{m^2 + 3m + \frac{25}{4}}$. Vì $\sqrt{m^2 + 3m + \frac{25}{4}} > 0$ nên $\frac{1}{2} - m > 0$ hay $m < \frac{1}{2}$. $(\frac{1}{2} - m)^2 \ge m^2 + 3m + \frac{25}{4}$. $\frac{1}{4} - m + m^2 \ge m^2 + 3m + \frac{25}{4}$. $-4m \ge 6$. $m \le -\frac{3}{2}$. Vậy $m \le -\frac{3}{2}$