Câu hỏi:

Gọi V, T, S lần lượt là tập hợp các học sinh thích Văn, Toán, Sử.

Gọi $n(X)$ là số phần tử của tập $X$.

Ta có: $n(V) = 25$, $n(T) = 20$, $n(S) = 18$.

Số học sinh không thích môn nào là 6, suy ra số học sinh thích ít nhất một môn là $45 - 6 = 39$.

Theo đề bài, ta có: $n(V \cap T \cap S) = 5$, $n(T \cap S) = 6$, $n(V \cap T) = 8$.

Áp dụng công thức:

$n(V \cup T \cup S) = n(V) + n(T) + n(S) - n(V \cap T) - n(V \cap S) - n(T \cap S) + n(V \cap T \cap S)$

$39 = 25 + 20 + 18 - 8 - n(V \cap S) - 6 + 5$

$39 = 54 - n(V \cap S)$

$n(V \cap S) = 54 - 39 = 15$

Số học sinh thích cả Văn và Sử là 12

Công thức tính diện tích tam giác ABC đúng là $S_{ABC} = \frac{abc}{4R}$, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Các công thức diện tích tam giác khác:

• $S = \frac{1}{2}bc \sin A$
• $S = pr$ (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp)
• $S = \frac{1}{2} a h_a$ ($h_a$ là đường cao ứng với cạnh a)

Ta có:

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos 160^\circ + (-1)$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos (180^\circ - 20^\circ) + (-1)$

$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

Nhân cả hai vế cho $2\sin 10^\circ$:

$2\sin 10^\circ S = 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 40^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 60^\circ + ... + 2\sin 10^\circ \cos 160^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 180^\circ$

Sử dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$:

$2\sin 10^\circ S = (\sin 30^\circ - \sin 10^\circ) + (\sin 50^\circ - \sin 30^\circ) + (\sin 70^\circ - \sin 50^\circ) + ... + (\sin 170^\circ - \sin 150^\circ) + (\sin 190^\circ - \sin 170^\circ)$

$2\sin 10^\circ S = -\sin 10^\circ + \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ - \sin 10^\circ = -2\sin 10^\circ$

$S = -1$

Hoặc có thể giải nhanh bằng:

$\cos(x) + \cos(x+d) + \cos(x+2d) + ... + \cos(x + (n-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2})}{\sin(\frac{d}{2})}\cos(x + \frac{(n-1)d}{2})$

Trong trường hợp này: $x = 20^\circ, d = 20^\circ, n = 9$

$S = \frac{\sin(\frac{9 \cdot 20^\circ}{2})}{\sin(\frac{20^\circ}{2})}\cos(20^\circ + \frac{8 \cdot 20^\circ}{2}) = \frac{\sin(90^\circ)}{\sin(10^\circ)}\cos(100^\circ) = \frac{\cos(100^\circ)}{\sin(10^\circ)} = \frac{-\sin(10^\circ)}{\sin(10^\circ)} = -1$