Câu hỏi:

Ta có:

• Tần số $f = 3$ Hz $\Rightarrow \omega = 2\pi f = 6\pi$ rad/s


• Vận tốc cực đại $v_{max} = A\omega = 30\pi$ cm/s $\Rightarrow A = \frac{30\pi}{6\pi} = 5$ cm


• Khi $x = 4$ cm, vận tốc $v$ được tính theo công thức:
  
  $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \pm 6\pi \sqrt{5^2 - 4^2} = \pm 6\pi \sqrt{25 - 16} = \pm 6\pi \sqrt{9} = \pm 6\pi . 3 = \pm 18\pi $ cm/s

Vậy tốc độ của chất điểm là $18\pi$ cm/s.

Độ dài quỹ đạo trong một chu kỳ là $4A$, với $A$ là biên độ dao động.
Ta có $4A = 20$ cm = $0.2$ m, suy ra $A = 0.05$ m.
Cơ năng của con lắc lò xo là:
W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} * 80 * (0.05)^2 = 40 * 0.0025 = 0.1 J.

Hiện tượng ba lô dao động mạnh nhất là hiện tượng cộng hưởng.

• Tần số dao động riêng của ba lô là: $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2*pi}\sqrt{\frac{900}{16}} \approx 1,193 \text{ Hz}$


• Chu kì dao động riêng của ba lô là: $T = \frac{1}{f} \approx 0,838 \text{ s}$


• Để có cộng hưởng, chu kì va chạm của bánh xe vào chỗ nối ray phải bằng chu kì dao động riêng của ba lô.


• Gọi $v$ là vận tốc của tàu, ta có: $T = \frac{l}{v} \Rightarrow v = \frac{l}{T} = \frac{12,5}{0,838} \approx 14,916 \text{ m/s}$

Tuy nhiên, do đề bài có vẻ có sự nhầm lẫn về dữ kiện. Dữ kiện 'ngay phía trên một trục bánh xe của toa tàu' có lẽ muốn nói tới việc tần số kích thích bằng tần số của vòng quay bánh xe. Giả sử bán kính bánh xe là $R$, khi đó, $v = R*\omega = 2*pi*R*f$, và tần số $f$ phải bằng tần số dao động riêng của vật.
Ta thấy, không có đáp án nào phù hợp với kết quả tính toán trên. Xem xét lại đề bài và các đáp án, có thể có sự nhầm lẫn ở đâu đó.
Nếu đề bài hỏi khi tàu chạy qua chỗ nối ray thì vận tốc bằng bao nhiêu để ba lô dao động mạnh nhất. Ta có: tần số tàu chạy qua chỗ nối ray là $f = v/l$, và chu kì là $T = l/v$.
Khi đó, $l/v = 2*pi*\sqrt{m/k} = 2*pi*\sqrt{16/900} \approx 2.11$ => $v = 12.5/2.11 \approx 5.92 m/s$. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Xét trường hợp khác. Chu kì của tàu chạy qua chỗ nối ray bằng $2*pi*\sqrt{m/k}$.
$v = l / (2*pi*\sqrt{m/k}) = 12.5 / (2*pi*\sqrt{16/900}) = 12.5 / (2*pi * 4/30) = 12.5 / (0.8377) = 14.92 m/s$.
Không có đáp án nào hợp lý cả.

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin hoặc cosin.

Ta có:

• $\omega = \frac{2 \cdot 2\pi}{\pi} = 4 (rad/s)$


• $v = -\omega A \sin(\varphi) = -12\sqrt{3} \Rightarrow -4A\sin(\varphi) = -12\sqrt{3} (1)$


• $a = -\omega^2 A \cos(\varphi) = -48 \Rightarrow -16A\cos(\varphi) = -48 (2)$

Chia (1) cho (2), ta được:

$\frac{-4A\sin(\varphi)}{-16A\cos(\varphi)} = \frac{-12\sqrt{3}}{-48} \Rightarrow \tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3}$

Thay $\varphi = \frac{\pi}{3}$ vào (2), ta được:

$-16A\cos(\frac{\pi}{3}) = -48 \Rightarrow -16A \cdot \frac{1}{2} = -48 \Rightarrow A = \frac{-48}{-8} = 6 (cm)$

Vậy phương trình dao động là: $x = 6\cos(4t + \frac{\pi}{3}) (cm)$