Câu hỏi:

• A. Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}: x < x + 2$ là đúng vì với mọi số thực $x$, $x$ luôn nhỏ hơn $x + 2$. Vậy phủ định của nó sai.


• B. Mệnh đề $\forall n \in \mathbb{N}: 3n \ge n$ là đúng vì với mọi số tự nhiên $n$, $3n$ luôn lớn hơn hoặc bằng $n$. Vậy phủ định của nó sai.


• C. Mệnh đề $\exists x \in \mathbb{Q}: x^2 = 5$ là sai vì không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào mà $x^2 = 5$. Vậy phủ định của nó đúng.


• D. Mệnh đề $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 – 3 = 2x$ là đúng vì tồn tại $x = 1 + \sqrt{4} = 3$ thỏa mãn $x^2 - 3 = 2x$. Vậy phủ định của nó sai.

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO} = AB * AO * cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})$.

Trong hình chữ nhật ABCD, ta có $AB = 2a$ và $AO = \frac{1}{2}AC$.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B, ta có:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Suy ra $AO = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi $\alpha$ là góc giữa AB và AC, ta có $cos(\alpha) = \frac{AB}{AC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO} = AB * AO * cos(\alpha) = 2a * \frac{a\sqrt{5}}{2} * \frac{2}{\sqrt{5}} = 2a^2$.

Ta có $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}$. Bình phương hai vế, ta được: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$. Khi đó: $Q = \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(1) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$. Mặt khác, $2\sin \alpha \cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \sin 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Suy ra $\cos 2\alpha = \cos (\frac{\pi}{2} + k2\pi) = 0$. Vậy $Q = -\cos 2\alpha = 0$.