Câu hỏi:

Gọi chiều dài của cánh đồng là $x$ và chiều rộng là $y$. Vì chỉ cần rào 3 cạnh nên ta có $x + 2y = 400$. Diện tích của cánh đồng là $S = xy$. Ta muốn tìm giá trị lớn nhất của $S$. Từ $x + 2y = 400$, ta có $x = 400 - 2y$. Thay vào công thức diện tích, ta được $S = (400 - 2y)y = 400y - 2y^2$. Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta tìm đạo hàm của $S$ theo $y$ và giải phương trình $S' = 0$. $S'(y) = 400 - 4y$. Đặt $S'(y) = 0$, ta có $400 - 4y = 0 \Rightarrow y = 100$. Khi $y = 100$, ta có $x = 400 - 2(100) = 200$. Vậy diện tích lớn nhất là $S = xy = 200 * 100 = 20000$ m$^2$.

Gọi $x$ là số ngày máy $X$ làm việc, $y$ là số ngày máy $Y$ làm việc.
Ta có $x + y = 10$ và $0 \le y \le 6$ suy ra $4 \le x \le 10$.
Số tiền lãi thu được là $L = 5x + 6y = 5x + 6(10 - x) = 60 - x$.
Để $L$ lớn nhất thì $x$ phải nhỏ nhất. Vậy $x = 4$.
Vậy cần sử dụng máy $X$ làm việc trong 4 ngày.

Ta có $A'(1;0;0), B'(0;2;0), C'(0;0;0)$. Do đó $A'B' = \sqrt{(0-1)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{5}$, $A'C' = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 1$, $B'C' = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2} = 2$. Vì $A', B', C'$ cùng thuộc mặt phẳng $Oxy$, nên $A'B'C'$ là một tam giác vuông tại $C'$. Vậy $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} A'C' \cdot B'C' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vì $AC = BC$ và $AD = BD$ nên $CM \perp AB$ và $DM \perp AB$. Suy ra $AB \perp (CDM)$. Vì $J$ là trung điểm của $CD$ nên $CD \perp MJ$. Do đó, $CD \perp (ABM)$.
Ta có $CM = DM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - (5\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{25 - 75/4} = \sqrt{25/4} = 5/2$.
$MJ = 5\sqrt{6}/2$.
$MI = |AM - AI| = |5\sqrt{3}/2 - 3|$.
$IJ = \sqrt{MI^2 + MJ^2} = \sqrt{((5\sqrt{3} - 6)/2)^2 + (5\sqrt{6}/2)^2} = \sqrt{(261 - 60\sqrt{3})/4} \approx 5.241$.

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, và $n$ là tổng số tần số.
Ta có công thức tính phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm là:
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2$, trong đó $\bar{x}$ là trung bình mẫu.
Trước hết, tính trung bình mẫu $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{1}{43} (5 \cdot 152.5 + 10 \cdot 157.5 + 12 \cdot 162.5 + 9 \cdot 167.5 + 4 \cdot 172.5 + 3 \cdot 177.5) $
$\bar{x} = \frac{1}{43} (762.5 + 1575 + 1950 + 1507.5 + 690 + 532.5) = \frac{1}{43} (7017.5) \approx 163.19767$
Giờ tính phương sai $s^2$:
$s^2 = \frac{1}{43} [5(152.5 - 163.19767)^2 + 10(157.5 - 163.19767)^2 + 12(162.5 - 163.19767)^2 + 9(167.5 - 163.19767)^2 + 4(172.5 - 163.19767)^2 + 3(177.5 - 163.19767)^2]$
$s^2 = \frac{1}{43} [5(-10.69767)^2 + 10(-5.69767)^2 + 12(-0.69767)^2 + 9(4.30233)^2 + 4(9.30233)^2 + 3(14.30233)^2]$
$s^2 = \frac{1}{43} [5(114.449) + 10(32.463) + 12(0.4867) + 9(18.510) + 4(86.533) + 3(204.557)]$
$s^2 = \frac{1}{43} [572.245 + 324.63 + 5.8404 + 166.59 + 346.132 + 613.671] = \frac{1}{43} [2029.1084] \approx 47.1885 \approx 47.19$
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 47.19.