Câu hỏi:

Ta có $3\cos{x} + 2\sin{x} = 2$. Suy ra $3\cos{x} = 2 - 2\sin{x}$. Bình phương hai vế, ta được: $9\cos^2{x} = (2 - 2\sin{x})^2 \Leftrightarrow 9(1 - \sin^2{x}) = 4 - 8\sin{x} + 4\sin^2{x} \Leftrightarrow 9 - 9\sin^2{x} = 4 - 8\sin{x} + 4\sin^2{x} \Leftrightarrow 13\sin^2{x} - 8\sin{x} - 5 = 0$. Giải phương trình bậc hai theo $\sin{x}$, ta được: $\sin{x} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 13 \cdot 5}}{26} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 260}}{26} = \frac{8 \pm \sqrt{324}}{26} = \frac{8 \pm 18}{26}$. Vậy $\sin{x} = \frac{8 + 18}{26} = \frac{26}{26} = 1$ (loại vì $\sin{x} < 0$) hoặc $\sin{x} = \frac{8 - 18}{26} = \frac{-10}{26} = -\frac{5}{13}$. Kiểm tra lại với $\sin{x} = -\frac{5}{13}$, ta có $\cos{x} = \frac{2 - 2\sin{x}}{3} = \frac{2 - 2(-\frac{5}{13})}{3} = \frac{2 + \frac{10}{13}}{3} = \frac{\frac{36}{13}}{3} = \frac{12}{13}$. Thay vào phương trình ban đầu: $3(\frac{12}{13}) + 2(-\frac{5}{13}) = \frac{36}{13} - \frac{10}{13} = \frac{26}{13} = 2$ (thỏa mãn). Vậy $\sin{x} = -\frac{5}{13}$.