Câu hỏi:

Ta đi tìm m để \(A \cap B \cap C = \emptyset \)

 Trường hợp 1: Nếu \(2m \le m \Leftrightarrow m \le 0\) thì \(B \cap C = \emptyset \)

\( \Rightarrow A \cap B \cap C = \emptyset \)

 Trường hợp 2: Nếu \(2m > m \Leftrightarrow m > 0\)

\( \Rightarrow A \cap B \cap C = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m \le  - 3\\m \ge 2\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m\\2m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{ - 3}}{2}\\m \ge 2\\ - 1 \le m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vì \(m > 0\) nên \(\left[ \begin{array}{l}0 < m \le \frac{1}{2}\\m \ge 2\end{array} \right.\)

\(A \cap B \cap C = \emptyset  \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow A \cap B \cap C \ne \emptyset  \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 2\).

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số vở bạn Lan có thể mua (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).

Theo bài ra ta có: \(3x + 4y \le 15\).

Ta lấy gốc tọa độ \(O\left( {0;\,0} \right)\) và tính \(3.0 + 4.0 - 15 \le 0\).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ O, kể cả đường thẳng d.

Vì \(x,\,y \ge 1\) nên các cặp \(\left( {x,\,y} \right)\) thoả mãn là \(\left( {1,1} \right)\); \(\left( {1,{\mkern 1mu} 2} \right)\); \(\left( {1,{\mkern 1mu} 3} \right)\); \(\left( {2,1} \right)\); \(\left( {2,2} \right)\); \(\left( {3,{\mkern 1mu} 1} \right)\).

Vậy bạn Lan có thể mua được nhiều nhất 4 quyển vở sao cho có cả hai loại.

Ta có miền nghiệm của hệ đã cho là miền tứ giác ABCD, kể cả các biên (phần tô màu) với \(A\left( {5;4} \right),\,B\left( {\frac{5}{2};9} \right),\,C\left( {10;9} \right),\,\,D\left( {10;2} \right)\).

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu của A lên \(DC,\,BC\).

Ta có \(M\left( {10;4} \right),\,N\left( {5;9} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = {S_{AMCN}} + {S_{ABN}} + {S_{ADM}} = 5.5 + \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5 + \frac{1}{2}.2.5 = \frac{{145}}{4}\).

Đặt \(x \ge 0,\,y \ge 0\) lần lượt là số kg sản phẩm A và B mà nhà máy sản xuất được.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ bất phương trình hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 2y \le 175\\4x + 2y \le 150\end{array} \right.\) (I)

Số tiền mà nhà máy cần để sản xuất x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(1.\left( {5x + 2y} \right) + 2.\left( {4x + 2y} \right) = 13x + 6y\) triệu đồng;

Số tiền mà nhà máy thu được khi bán x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(18x + 8,25y\) (triệu đồng);

Số tiền lời mà nhà máy thu được khi bán x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(P = 18x + 8,25y - 13x - 6y - 20 = 5x + 2,25y - 20\) (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là

Thay tọa độ \(A,\,B,\,C\) vào P ta được:

\({P_A} = 148,75\) triệu đồng, \({P_B} = 161,25\) triệu đồng, \({P_C} = 155\) triệu đồng.

Vậy để lợi nhuận là lớn nhất nhà máy phải sản xuất 25 sản phẩm A.

Quãng đường ô tô đi từ A đến C qua B là:

\({S_1} = AB + BC = 15 + 20 = 35\) km.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{C^2}}&{ = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}}\\{}&{ = {{15}^2} + {{20}^2} - 2.15.20.cos{{120}^{^\circ }} = 925}\end{array}\)

\( \Rightarrow AC = 5\sqrt {37} \).

Nếu đi theo đường hầm thì quãng đường ô tô đi ít hơn là;

\(S = {S_1} - AC = 35 - 5\sqrt {37}  \approx 4,6\).

Ô tô tiết kiệm được số tiền là \(4,6\,:\,5.20\,000 = 18\,400\) đồng.