Câu hỏi:

Vẽ các đường thẳng \(x-y=2\) (\({{d}_{1}}\)), \(x+2y=8\) (\({{d}_{2}}\)), \(5x+y=4\) \(\left( {{d}_{3}} \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác \(ABC\) kể cả biên (phần tô màu trong hình vẽ) với \(A\left( 0;4 \right)\); \(B\left( 4;2 \right)\) và \(C\) là giao điểm của \({{d}_{2}}\) và \({{d}_{1}}\) nên \(C\left( 1;-1 \right)\).

Nhận thấy biểu thức \(P=2x+3y\) chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm \(A,\,B\) hoặc \(C\).

Thay các điểm \(A,\,B,\,C\) vào \(P\) ta được \({{P}_{A}}=12;\,{{P}_{B}}=14;\,{{P}_{C}}=-1\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=2x+3y\) là \(14.\)

Quãng đường ô tô đi từ A đến \(C\) qua B là:

\({{S}_{1}}=AB+BC=15+20=35\) km.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có:

\(\begin{align} A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} ={{15}^{2}}+{{20}^{2}}-2.15.20.cos\,\,{{120}^{{}^\circ }}=925 \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow AC=5\sqrt{37}\).

Nếu đi theo đường hầm thì quãng đường ô tô đi ít hơn là;

\(S={{S}_{1}}-AC=35-5\sqrt{37}\approx 4,6\).

Ô tô tiết kiệm được số tiền là \(4,6\,:\,5.20\,000=18\,400\) đồng.

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x, y, z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: a.

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: b.

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: c.

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c\in \mathbb{N}\). .

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align} x=y+z\,\,\,\left( 1 \right) \\ y+b=2\left( z+b \right)\,\,\,\left( 2 \right) \\ x=a+c+1\,\,\,\left( 3 \right) \\ x+y+z+a+b+c=25\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\); với \(x,y,z,a,b,c\in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y-2z=b\ge 0\) \(\Leftrightarrow \) \(y\ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử \(x,a,b,c\), ta được:

\(4y+z=26\Leftrightarrow y=\frac{26-z}{4}\le \frac{26}{4}\).

Từ điều kiện (*): \(y=\frac{26-z}{4}=\frac{52-2z}{8}\ge \frac{52-y}{8}\)

\(\Leftrightarrow 9y\ge 52\)\(\Leftrightarrow y\ge \frac{52}{9}\).

Do đó: \(\frac{52}{9}\le y\le \frac{26}{4}\) và \(y\in \mathbb{N}\).

Suy ra: \(y=6\); \(z=2\); \(x=8\).

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng.

Vì \(\left( 1;4 \right]\) gồm các số thực x mà \(1<x\le 4\).

Câu 12

Theo định lí sin trong tam giác ta có

\(\text{sin}A=\frac{BC}{4}\); \(\text{sin}C=\frac{AB}{4}\).

\(\Rightarrow 2\text{sin}A+\text{sin}C=1\)

\(\Leftrightarrow 2\frac{BC}{4}+\frac{AB}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow 2BC+AB=4.\)