Câu hỏi:

Ta có $f'(x) = x(x-1)(x-2)^2(x^2-1) = x(x-1)(x-2)^2(x-1)(x+1) = x(x+1)(x-1)^2(x-2)^2$


$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = -1, x = 1, x = 2$


Xét dấu của $f'(x)$:

• $x = 0$: $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương


• $x = -1$: $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm


• $x = 1$: $f'(x)$ không đổi dấu


• $x = 2$: $f'(x)$ không đổi dấu

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = -1$.

Ta có:

• $y' = -4x^3 + 4x$


• $y' = 0 \Leftrightarrow -4x^3 + 4x = 0 \Leftrightarrow -4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$

Bảng biến thiên:

| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | | 2 | | 2 | |
| | ⬈ | | ⬊ | | ⬈ |
| | | | | |
| | | | | |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực đại tại $x=0$ và 2 điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$.

Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y = -x^3 + 1$, ta cần tìm đạo hàm bậc nhất và giải phương trình $y' = 0$.

• $y' = -3x^2$


• Giải $y' = 0$ ta có: $-3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

Tiếp theo, ta xét dấu của $y'$:

• Với $x < 0$, $y' < 0$


• Với $x > 0$, $y' < 0$

Vì đạo hàm không đổi dấu khi đi qua $x = 0$, nên $x = 0$ không phải là điểm cực trị của hàm số.

Vậy, hàm số không có điểm cực trị nào.

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^4-4x^2+3$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 4x^3 - 8x$
2. Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm tới hạn: $4x^3 - 8x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{2}$
3. Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 12x^2 - 8$
4. Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
* $y''(0) = 12(0)^2 - 8 = -8 < 0$ (cực đại)
* $y''(\sqrt{2}) = 12(\sqrt{2})^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$ (cực tiểu)
* $y''(-\sqrt{2}) = 12(-\sqrt{2})^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$ (cực tiểu)
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu:
* $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
* $y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là -1.