Câu hỏi:

\(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)x+4m-3>0,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \Delta <0\)\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+12<0\)\(\Leftrightarrow 1<m<3\).

Phương trình có dạng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\) là phương trình của một đường tròn.

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & \sqrt{{{x}^{2}}-3x} & =\sqrt{3x-{{x}^{2}}}  \\    \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}-3x & =3x-{{x}^{2}}  \\    \Leftrightarrow  & 2{{x}^{2}}-6x & =0  \\    \Leftrightarrow  & 2x(x-3) & =0  \\ \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \) \(x=0\) hoặc \(x=3\).

Thay lần lượt hai giá trị này của \(x\) vào phương trình đã cho, ta thấy \(x=0\) và \(x=3\) đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(T=\left\{ 0;3 \right\}\).

Trục đối xứng của parabol được xác định bởi công thức: \(x=-\frac{b}{2a}.\)

Theo đề bài, trục đối xứng là \(x=\frac{1}{3}\), do đó: \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}.\)

Suy ra \(b=-\frac{2a}{3}.\)

Parabol đi qua điểm A(1, 3), nên ta có:

\(3=a{{\left( 1 \right)}^{2}}+b\left( 1 \right)+4\Leftrightarrow 3=a+b+4\Leftrightarrow a+b=-1.\)

Thay \(b=-\frac{2a}{3}\) vào biểu thức trên được:

\(a-\frac{2a}{3}=-1\Leftrightarrow \frac{3a-2a}{3}=-1\Leftrightarrow \frac{a}{3}=-1\Leftrightarrow a=-3.\)

Thay \(a=-3\) vào \(b=-\frac{2a}{3}\):

\(b=-\frac{2\left( -3 \right)}{3}=2.\)

Vậy \(-a+2b=-\left( -3 \right)+2\left( 2 \right)=3+4=7\).

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 2;3 \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( 1;3 \right)\).

Suy ra \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left( -3;1 \right)\).

Ta có: \(\left| \text{cos}\left( \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{d}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{d}}} \right|}=\frac{\left| 2.\left( -3 \right)+3.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{130}}\).