Câu hỏi:

Do \(AH\bot BC\) nên \(\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CB}=0\).

Do \(BH\bot AC\) nên \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{CA}=0\).

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Khi đó, sử dụng công thức hình chiếu ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA} & =(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CH})(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})  \\   {} & =\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BA}  \\   {} & =-\frac{B{{C}^{2}}}{4}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CD}  \\   {} & =\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD})-\frac{B{{C}^{2}}}{4}  \\   {} & =\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CB}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}  \\   {} & =\frac{B{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{B{{C}^{2}}}{4}.  \\\end{array}\)

Theo chứng minh trên ta có

\(M{{H}^{2}}+M{{A}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=A{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}.\)

Ta có \(a=2>0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh \(I\left( -1;-1 \right)\) và trục đối xứng là \(x=-1\).

Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M\left( 0;1 \right)\).

Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( 1;7 \right)\) và \(P\left( -3;7 \right)\).

a) Khi \(m=3\) hàm số trở thành \(y=8x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

b) Khi \(m=-2\) hàm số trở thành \(y=3x-3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái qua phải. 

c) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \({{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1\)

Mà \(m\) nhận giá trị nguyên nên chỉ có \(1\) giá trị \(m=0\) thỏa mãn yêu cầu. 

d) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi 

\({{m}^{2}}-1>0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m<-1  \\   m>1  \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)\).

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   26x+22y & \ge 56  \\   26x+22y & \le 91  \\   x & \le y  \\   x & \ge 0  \\   y & \ge 0  \\\end{array} \right.\).

Một nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) của hệ bất phương trình với \({{x}_{0}},\,{{y}_{0}}\) là \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=\left( 1;2 \right)\).

Điểm \(B\left( \frac{91}{48};\frac{91}{48} \right)\) là điểm có hoành độ lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A\left( \frac{7}{6};\frac{7}{6} \right)\), \(B\left( \frac{91}{48};\frac{91}{48} \right)\), \(C\left( 0;\frac{91}{22} \right)\), \(D\left( 0;\frac{28}{11} \right)\) ở hình sau:

Ta sử dụng vectơ \(\vec{v}\): \(\left| {\vec{v}} \right|=30\) để biểu thị cho vận tốc của tàu, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) để biểu thị cho quãng đường và hướng chuyển động của tàu từ \(A\) tới \(B\). 

Do tàu chuyển động đều từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(30\) km/h trong \(5\) giờ nên \(AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=5\left| {\vec{v}} \right|=150\) km.