Để tích lũy cho việc học đại học của cậu con trai đầu lòng, cô Lan quyết định hằng tháng bỏ ra \(600\) nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi \(0,5\%\) cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi cậu con trai tròn ba tuổi và gửi tiền vào đầu mỗi tháng.

Câu 17:

Một chất điểm chuyển động với tốc độ được cho bởi hàm số \(v(t)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 10+a & \text{ khi }0\le t\le 5 \\ {{t}^{2}}-5t+10 & \text{ khi }t>5 \\ \end{array} \right.\), trong đó \(v\left( t \right)\) được tính theo đơn vị m/s và \(t\) được tính theo giây. Giá trị của \(a\) là bao nhiêu thì hàm số \(y=v\left( t \right)\) liên tục tại điểm \(t=5\)?

Lời giải:

Đáp án đúng:

0

Để hàm số \(y=v\left( t \right)\) liên tục tại điểm \(t=5\) thì \(10+a=10\Leftrightarrow a=0\).

Câu 18:

Một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình \(s\left( t \right)\). Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm \({{t}_{0}}\) được định nghĩa là \(\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{s\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-s\left( {{t}_{0}} \right)}{\Delta t}\). Vận tốc tức thời của chất điểm có phương trình chuyển động \(s\left( t \right)=5{{t}^{2}}-2t+3\) (trong đó \(s\left( t \right)\) có đơn vị là mét, \(t\) đơn vị là giây) tại thời điểm \(t=3\) giây bằng bao nhiêu m/s?

Lời giải:

Đáp án đúng:

28

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t=3\) giây là:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s(3+\Delta t)-s(3)}{\Delta t} & =\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{(3+\Delta t)}^{2}}-2(3+\Delta t)+3-42}{\Delta t} \\ {} & =\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{(\Delta t)}^{2}}+28\Delta t}{\Delta t}. \\ \end{array}\)

Câu 19:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD\) và \(SD\). Biết rằng mặt phẳng \(\left( BMN \right)\) cắt đường thẳng \(SA\) tại \(P\). Tỉ số \(\frac{SP}{SA}\) bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng trăm)

Lời giải:

Đáp án đúng:

0,33

Gọi \(Q=AC\cap BM\).

Ta có : \(MN\) // \(\left( SAC \right)\) (do \(MN\) // \(SC\)).

Suy ra giao tuyến của \(\left( BMN \right)\) và \(\left( SAC \right)\) là đường thẳng qua \(Q\) và song song với \(SC\), cắt \(SA\) tại \(P\).

\(\Rightarrow P=SA\cap \left( BMN \right)\).

Ta có \(Q\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).

\(\Rightarrow CQ=\frac{2}{3}CO=\frac{1}{3}CA\)\(\Rightarrow AQ=\frac{2}{3}AC\).

Mà \(PQ\) // \(SC\Rightarrow \frac{AP}{AS}=\frac{AQ}{AC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow \frac{SP}{SA}=\frac{1}{3}\approx 0,33\).

Câu 20:

Vào một thời điểm trong ngày, người ta quan sát thấy bóng râm của một thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) là hình chiếu của thùng hàng đó lên mặt đất với phương chiếu \(GM\) song song với các tia sáng mặt trời (các tia sáng mặt trời được xem là các đường thẳng song song với nhau), \(M\) trùng với điểm đối xứng với \(A\) qua \(D\). Tính diện tích phần bóng râm được tô màu trong hình vẽ bên dưới, biết rằng \(BC=8\) m, \(CD=2\) m và \(CG=4\) m. (kết quả tính theo đơn vị \({{m}^{2}}\)).

Lời giải:

Đáp án đúng:

32

Do đó \(MNPD\) là hình bình hành. (3)

Mặt khác, do \(MN\) là hình chiếu song song của \(GH\) lên \(\left( ABCD \right)\) theo phương \(GM\) và \(GH\) // \(\left( ABCD \right)\) nên \(MN\) // \(GH\) và \(MN=GH\).

Suy ra \(MN\) // \(CD\) và \(MN=CD\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra ba điểm \(C,\,D,\,P\) thẳng hàng và \(D\) là trung điểm \(CP\).

Khi đó phần bóng râm cần tính diện tích được minh họa như hình vẽ bên dưới:

Theo tính chất của hình học phẳng, ta dễ thấy rằng \(\Delta APD\), \(\Delta MCD\) là các tam giác vuông tại \(D\) và \(MNPD\) là hình chữ nhật.

Vậy diện tích phần bóng râm cần tính là:

\(S={{S}_{\Delta APD}}+{{S}_{\Delta MCD}}+{{S}_{MNPD}}=\frac{1}{2}.8.2+\frac{1}{2}.8.2+8.2=32\) (\({{m}^{2}}\)).

Câu 21:

Biết rằng dãy số \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=\sqrt{2} \\ {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}+2} \\\end{array} \right.\) bị chặn trên bởi \(a\). Tìm \(a\)

Lời giải:

Đáp án đúng:

2

Giả sử tồn tại \({{u}_{n}}\ge 2\Rightarrow \sqrt{{{u}_{n-1}}+2}\ge 2\Rightarrow {{u}_{n-1}}\ge 2\).

Nếu tồn tại \({{u}_{n}}\ge 2\) thì suy ra \({{u}_{n-1}}\ge 2\), từ đó suy ra được \({{u}_{n-2}},{{u}_{n-3}},\ldots ,{{u}_{2}},{{u}_{1}}\ge 2\) vô lí.

Do \({{u}_{1}}=\sqrt{2}<2\) nên điều giả sử là sai.

Suy ra: \({{u}_{n}}<2\).

Xét \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\sqrt{{{u}_{n}}+2}-{{u}_{n}}\)\(=\frac{{{u}_{n}}+2-u_{n}^{2}}{\sqrt{{{u}_{n}}+2}+{{u}_{n}}}\)\(=\frac{\left( 2-{{u}_{n}} \right)\left( 1+{{u}_{n}} \right)}{\sqrt{{{u}_{n}}+2}+{{u}_{n}}}>0\)

Suy ra: \({{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\) nên \({{u}_{n}}\) là dãy tăng.

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi \(2\).

Câu 22:

Sinh nhật bạn của An vào ngày \(1\) tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn thân của mình nên quyết định bỏ ống heo \(1\,000\) đồng vào ngày \(01\) tháng \(01\) năm \(2016\), sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước \(1\,000\) đồng. Hỏi đến ngay trước ngày sinh nhật của bạn thân, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (ghi kết quả dưới dạng số thập phân, đơn vị nghìn đồng)

Lời giải: