Câu hỏi:

a) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;2 \right)\)

\(\Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1\,;-1 \right)\) nên a) đúng.

b) Phương trình đường thẳng

\(AB\): \(1\left( x+1 \right)-1\left( y-0 \right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\).

Từ đó, đường thẳng \(AB\) không đi qua điểm \(M\left( 3\,;2 \right)\) nên b) sai.

c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;2 \right)\) nên có phương trình:

\(2(x-1)+2(y-2)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

nên c) sai.

d) \(C\) thuộc đường thẳng BC nên tọa độ điểm C có dạng \(C(t;3-t)\), \(t>0\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên: 

\(AB=BC\Leftrightarrow \sqrt{{{(t-1)}^{2}}+{{(1-t)}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   t=-1(l)  \\   t=3  \\\end{array} \right.\)

Với \(t=3\) thì \(C\left( 3\,;0 \right)\) nên d) sai.

Ta có: \(\left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC} \right|=\left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH} \right|=\left| 2\overrightarrow{CE} \right|=2CE\) (với \(E\) là trung điểm của \(AH\)).

Ta lại có: \(AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}\) (\(\Delta ABC\) đều, \(AH\) là đường cao).

Trong tam giác \(HEC\) vuông tại \(H\), có:

\(EC=\sqrt{C{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{{{2.5}^{2}}+{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{5\sqrt{7}}{4}\).

\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC} \right|=2CE=\frac{5\sqrt{7}}{2}\approx 6,61\).

Ta có \({{\left( x+2y \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{4-k}}{{\left( 2y \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{4-k}}{{y}^{k}}}\).

Số hạng chứa \({{x}^{2}}{{y}^{2}}\) trong khai triển trên ứng với \(\left\{ \begin{align}  & 4-k=2 \\ & k=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow k=2\).

Vậy hệ số của \({{x}^{2}}{{y}^{2}}\) trong khai triển của \({{\left( x+2y \right)}^{4}}\) là \(C_{4}^{2}{{.2}^{2}}=24\).

Chọn 2 vị trí cho số 1 và 2 rồi xếp số 1 trước số 2 có \(C_{9}^{2}\).

Chọn 2 vị trí cho số 3 và 4 rồi xếp số 3 trước số 4 có \(C_{7}^{2}\).

Chọn 2 vị trí cho số 5 và 6 rồi xếp số 5 trước số 6 có \(C_{5}^{2}\).

Xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí có \(3!\) cách.

Vậy có tất cả \(3!\cdot C_{9}^{2}\cdot C_{7}^{2}\cdot C_{5}^{2}=45360\) số.

Để máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất, máy thu phải đặt tại điểm M trên đường thẳng Δ sao cho khoảng cách AM là nhỏ nhất. Khoảng cách này chính là độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống Δ.

1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với Δ.

Đường thẳng Δ có VTPT là \(\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)\).

Vậy VTPT của đường thẳng đi qua \(A\left( 2;3 \right)\) và vuông góc với Δ là \(\overrightarrow{n}\left( 1;1 \right)\).

Phương trình đường thẳng này là: \(x+y-5=0\).

2. Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng là nghiệm của hệ pt:

\(\left\{ \begin{align}  & x-y-3=0 \\  & x+y-5=0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=4 \\  & y=1 \\ \end{align} \right.\)

Vậy tọa độ của M là:

\(M\left( 4;1 \right)\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=4 \\  & b=1 \\ \end{align}\right.\)\(\Rightarrow a+2025b=4+2025.1=2029\).