Câu hỏi:

Ta có: \(\left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC} \right|=\left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH} \right|=\left| 2\overrightarrow{CE} \right|=2CE\) (với \(E\) là trung điểm của \(AH\)).

Ta lại có: \(AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}\) (\(\Delta ABC\) đều, \(AH\) là đường cao).

Trong tam giác \(HEC\) vuông tại \(H\), có:

\(EC=\sqrt{C{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{{{2.5}^{2}}+{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{5\sqrt{7}}{4}\).

\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC} \right|=2CE=\frac{5\sqrt{7}}{2}\approx 6,61\).

Ta có \({{\left( x+2y \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{4-k}}{{\left( 2y \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{4-k}}{{y}^{k}}}\).

Số hạng chứa \({{x}^{2}}{{y}^{2}}\) trong khai triển trên ứng với \(\left\{ \begin{align}  & 4-k=2 \\ & k=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow k=2\).

Vậy hệ số của \({{x}^{2}}{{y}^{2}}\) trong khai triển của \({{\left( x+2y \right)}^{4}}\) là \(C_{4}^{2}{{.2}^{2}}=24\).

Chọn 2 vị trí cho số 1 và 2 rồi xếp số 1 trước số 2 có \(C_{9}^{2}\).

Chọn 2 vị trí cho số 3 và 4 rồi xếp số 3 trước số 4 có \(C_{7}^{2}\).

Chọn 2 vị trí cho số 5 và 6 rồi xếp số 5 trước số 6 có \(C_{5}^{2}\).

Xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí có \(3!\) cách.

Vậy có tất cả \(3!\cdot C_{9}^{2}\cdot C_{7}^{2}\cdot C_{5}^{2}=45360\) số.

Để máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất, máy thu phải đặt tại điểm M trên đường thẳng Δ sao cho khoảng cách AM là nhỏ nhất. Khoảng cách này chính là độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống Δ.

1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với Δ.

Đường thẳng Δ có VTPT là \(\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)\).

Vậy VTPT của đường thẳng đi qua \(A\left( 2;3 \right)\) và vuông góc với Δ là \(\overrightarrow{n}\left( 1;1 \right)\).

Phương trình đường thẳng này là: \(x+y-5=0\).

2. Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng là nghiệm của hệ pt:

\(\left\{ \begin{align}  & x-y-3=0 \\  & x+y-5=0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=4 \\  & y=1 \\ \end{align} \right.\)

Vậy tọa độ của M là:

\(M\left( 4;1 \right)\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=4 \\  & b=1 \\ \end{align}\right.\)\(\Rightarrow a+2025b=4+2025.1=2029\).

\(\bullet \) Nếu chọn cỡ áo \(39\) thì sẽ có \(6\) cách.

\(\bullet \) Nếu chọn cỡ áo \(40\) thì sẽ có \(8\) cách.

Theo qui tắc cộng, ta có \(6+8=14\) cách chọn mua áo.