Câu hỏi:

Cho tứ diện $ABCD$, gọi ${G_1},{G_2}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD.$ Mệnh đề nào sau đây sai?

${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)$;

Ba đường thẳng $B{G_1},A{G_2}$ và $CD$ đồng quy;

${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)$;

${G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB$.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
Khi đó $G_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $BG_1 = \frac{2}{3}BM$.
$G_2$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $AG_2 = \frac{2}{3}AM$.
Xét tam giác $ABM$: $ \frac{AG_2}{AM} = \frac{BG_1}{BM} = \frac{2}{3} $ nên $G_1G_2 // AB$ (Định lý Thales đảo).
Suy ra $G_1G_2 // (ABD)$ và $G_1G_2 // (ABC)$. Vậy A, C đúng.
Ta có $G_1G_2 = \frac{2}{3}AB$. Vậy D sai.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 - Cánh Diều - Đề 1

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 38

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 35:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, gọi $I$ là trung điểm cạnh $SC$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

$O$ là trung điểm của $AC$.

$I$ là trung điểm của $SC$.

Suy ra $OI$ là đường trung bình của $\Delta SAC \Rightarrow OI // SA$.

Vì $SA \subset (SAB)$ nên $OI$ song song với mặt phẳng $(SAB)$. Do đó, đáp án B đúng.

Vì $OI \subset (IBD)$ và $OI \subset (SAC)$ nên mặt phẳng $(IBD)$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ theo giao tuyến $OI$. Do đó, đáp án C đúng.

Mặt phẳng $(IBD)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là tứ giác $IBOD$. Do đó, đáp án D đúng.

Vậy đáp án sai là A.

Câu 36:

Giải các phương trình lượng giác:

a) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0$;

b) $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0$ và $x \in \left( {0;\pi } \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này yêu cầu giải hai phương trình lượng giác.

a) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0$

Phương trình này có thể giải bằng cách sử dụng công thức lượng giác để biến đổi và đưa về dạng đơn giản hơn.

b) $\frac{1}{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0$ và $x \in \left( {0;\pi } \right)$.

Phương trình này có thể giải bằng cách sử dụng các đẳng thức lượng giác cơ bản và biến đổi để tìm ra nghiệm thỏa mãn điều kiện $x \in \left( {0;\pi } \right)$. Cần chú ý đến điều kiện xác định của các hàm lượng giác.

Câu 37:

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với hai đường thẳng $BC$ và $AD$. Gọi $N,P,Q$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các cạnh $AC,CD$ và $DB$.

a) Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì $MNPQ$ là hình thoi?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đây là một bài toán hình học không gian, yêu cầu chứng minh một tứ giác là hình bình hành và xác định điều kiện để nó trở thành hình thoi.
a) Để chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối song song với nhau. Vì $(\alpha)$ song song với $BC$ và $AD$, ta có thể sử dụng định lý Thales trong không gian.
b) Để $MNPQ$ là hình thoi, ngoài việc là hình bình hành, các cạnh của nó phải bằng nhau. Điều này dẫn đến một số điều kiện về vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ và mối quan hệ giữa các cạnh của tứ diện $ABCD$.

Câu 38:

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm 2023 (có 365 ngày) được cho bởi một hàm số $y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10$, với $t \in \mathbb{Z}$ và \[0 < t \le 365\]. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Số giờ nắng nhiều nhất khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1$.

Khi đó $\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow t - 60 = 89 + 356k$

$\Rightarrow t = 149 + 356k$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 0$, suy ra $t = 149$.

Vậy ngày thứ 149 có số giờ nắng nhiều nhất.

Câu 1:

Một cung tròn có độ dài bằng bán kính. Khi đó số đo bằng radian của cung tròn đó là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Độ dài cung tròn $l$ liên hệ với bán kính $r$ và số đo góc $\alpha$ (radian) bởi công thức $l = r\alpha$.
Vì độ dài cung tròn bằng bán kính, ta có $l = r$.
Do đó, $r = r\alpha$, suy ra $\alpha = 1$.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.