Câu hỏi:

Ta có:

• $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông"


• $Q$: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau"

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là đúng vì hình vuông là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$ cũng đúng, vì hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

Do đó, $P$ và $Q$ tương đương, tức là $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

Vì $P \Leftrightarrow Q$ là đúng, nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$. Các mệnh đề a, b, c đều sai, mệnh đề d đúng.

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.
Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
Vì $\cos \alpha < 0$, nên $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Vậy đáp án đúng là b).
Kiểm tra các đáp án khác:
a) $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$ nên $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$. Vậy a) đúng.
c) $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy c) sai.
d) $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.
$\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3\sqrt 2 \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}$. Vậy d) đúng.