Câu hỏi:

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{DN}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BD}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} )$

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Ta có hình chữ nhật ABCD.

$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$

Mà theo tính chất hình bình hành (hình chữ nhật là một trường hợp đặc biệt), ta có $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB}$.

Vậy $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

Ta có:

• $AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$


• $BC = \sqrt{3}$


• $CA = \sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} + 2 - 3}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{2}} = \frac{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} - 1}{\sqrt{12} - 2} = \frac{2 - \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} - 2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{1}{2}$


Suy ra $\widehat{BAC} = 120^\circ$.


Vì AD là đường phân giác của góc A nên $\widehat{BAD} = \frac{1}{2} \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.


Ta có $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$


$\widehat{ADB} = 75^\circ$

Ta có $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM}$.

Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Do đó, $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}$.