Câu hỏi:
Cho hình thoi ABCD có góc DAB = 60 cạnh 2a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai?
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Hình thoi ABCD có $\angle DAB = 60^{\circ}$ nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh 2a.
Suy ra BD = 2a, AO = OC = a$\sqrt{3}$, BO = OD = a.
*Xét đáp án A: $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = 2AO = 2a\sqrt{3}$. Vậy A đúng.
*Xét đáp án D: $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = BD = 2a$. Vì $\angle ABC = 120^\circ$ nên $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = 2a\sqrt{3}$. Vậy D đúng.
*Xét đáp án C: $|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}|$. Vì OB = a và DC = 2a, OB và DC cùng phương, ngược chiều nên $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}| = |-a + 2a| = a$. Vậy C sai.
*Xét đáp án B: $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|$. Ta có $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|^2 = OB^2 + AD^2 + 2OB.AD.\cos(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})$. Ta thấy $\overrightarrow{OB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AD}$ do đó tích vô hướng bằng 0. $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5}$
Nhận thấy đáp án B sai.
Suy ra BD = 2a, AO = OC = a$\sqrt{3}$, BO = OD = a.
*Xét đáp án A: $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = 2AO = 2a\sqrt{3}$. Vậy A đúng.
*Xét đáp án D: $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = BD = 2a$. Vì $\angle ABC = 120^\circ$ nên $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = 2a\sqrt{3}$. Vậy D đúng.
*Xét đáp án C: $|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}|$. Vì OB = a và DC = 2a, OB và DC cùng phương, ngược chiều nên $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}| = |-a + 2a| = a$. Vậy C sai.
*Xét đáp án B: $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|$. Ta có $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|^2 = OB^2 + AD^2 + 2OB.AD.\cos(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})$. Ta thấy $\overrightarrow{OB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AD}$ do đó tích vô hướng bằng 0. $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5}$
Nhận thấy đáp án B sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó, $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{7}{2} = 3.5$ và $OA = \frac{1}{2}AC$.
Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OAB, ta có:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}$
Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OBC, ta có:
$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos{\angle BOC}$
Vì $\angle AOB$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù nên $\cos{\angle AOB} = -\cos{\angle BOC}$.
Đặt $OA = OC = x$. Ta có:
$AB^2 + BC^2 = 2OB^2 + 2OA^2$
$4^2 + 5^2 = 2(3.5)^2 + 2x^2$
$16 + 25 = 2(12.25) + 2x^2$
$41 = 24.5 + 2x^2$
$2x^2 = 16.5$
$x^2 = 8.25$
$x = \sqrt{8.25} \approx 2.87$
Do đó, $AC = 2x = 2\sqrt{8.25} \approx 5.74$
Vậy, độ dài của AC gần nhất với giá trị 5,7.
Do đó, $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{7}{2} = 3.5$ và $OA = \frac{1}{2}AC$.
Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OAB, ta có:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}$
Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OBC, ta có:
$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos{\angle BOC}$
Vì $\angle AOB$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù nên $\cos{\angle AOB} = -\cos{\angle BOC}$.
Đặt $OA = OC = x$. Ta có:
$AB^2 + BC^2 = 2OB^2 + 2OA^2$
$4^2 + 5^2 = 2(3.5)^2 + 2x^2$
$16 + 25 = 2(12.25) + 2x^2$
$41 = 24.5 + 2x^2$
$2x^2 = 16.5$
$x^2 = 8.25$
$x = \sqrt{8.25} \approx 2.87$
Do đó, $AC = 2x = 2\sqrt{8.25} \approx 5.74$
Vậy, độ dài của AC gần nhất với giá trị 5,7.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$, ta có:
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$
Mà $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
Suy ra $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$, ta có:
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$
Mà $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
Suy ra $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
