Câu hỏi:

Ta có ABCD là hình thoi cạnh 4 và $\widehat{ABC} = 120^\circ$. Suy ra $\widehat{BAD} = 60^\circ$.
Do đó, tam giác ABD là tam giác đều cạnh 4.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}).\overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}$
$= |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(\widehat{BAD}) + |\overrightarrow{AD}|^2 = 4.4.cos(60^\circ) + 4^2 = 16.\frac{1}{2} + 16 = 8 + 16 = 24$.
Tuy nhiên, có vẻ như có một lỗi trong đề bài hoặc trong các đáp án. Nếu $\widehat{ABC} = 120^\circ$, thì $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Khi đó, tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ sẽ là 24. Đáp án đúng nhất gần với 24 là 32 nếu tính theo cách khác như sau:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}^2 = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(60) + |\overrightarrow{AD}|^2 = 4*4*\frac{1}{2} + 4^2 = 8 + 16 = 24$
Vì không có đáp án nào bằng 24, ta xem xét lại đề bài và các đáp án. Nếu góc $\widehat{ABC}$ bằng $120^\circ$, thì góc $\widehat{BAC}$ phải bằng $30^\circ$ suy ra góc giữa AC và AD không phải là $60^\circ$.
Nếu $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} = |AB||AD| cos(\alpha) = 16 cos(\alpha)$ và $\overrightarrow{AD}^2 = 16$ thì $\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} = 16 cos(\alpha) + 16$
Nếu đáp án là 32, thì $16 cos(\alpha) + 16 = 32 => 16 cos(\alpha) = 16 => cos(\alpha) = 1$, khi đó $\alpha = 0$. Điều này không hợp lý.
Kiểm tra lại đề. Có lẽ đề yêu cầu tính $AC^2$. Vì $\angle ABC = 120^\circ => \angle BAD = 60^\circ$, tam giác ABD đều cạnh 4. Vậy $AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2 AB.BC.cos(\angle ABC) = 4^2 + 4^2 + 2.4.4.cos(120^\circ) = 16 + 16 + 32(-\frac{1}{2}) = 32 - 16 = 16$. Nếu đề hỏi $AC^2$ thì đáp án là 16, có lẽ đây là lỗi đánh máy.