Câu hỏi:

Ta có $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}$. Bình phương hai vế, ta được: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$. Khi đó: $Q = \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(1) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$. Mặt khác, $2\sin \alpha \cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \sin 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Suy ra $\cos 2\alpha = \cos (\frac{\pi}{2} + k2\pi) = 0$. Vậy $Q = -\cos 2\alpha = 0$.

Ta có $|\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AM}|$.

$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|$. (Theo quy tắc hình bình hành)

Suy ra $|\overrightarrow{AM}| = |\overrightarrow{AC}|$, vậy $AM = AC$. Do đó, điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kính AC.

Diện tích tam giác DEF là: $S = \frac{1}{2}DE.DF.\sin{\widehat{EDF}} = \frac{1}{2}.5.8.\sin{50^{\circ}} \approx 15.32$.

Độ dài cạnh EF là: $EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2.DE.DF.\cos{\widehat{EDF}} = 5^2 + 8^2 - 2.5.8.\cos{50^{\circ}} \approx 40.57 \Rightarrow EF \approx 6.37$.

Nửa chu vi tam giác DEF là: $p = \frac{DE + DF + EF}{2} = \frac{5 + 8 + 6.37}{2} \approx 9.69$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF là: $r = \frac{S}{p} = \frac{15.32}{9.69} \approx 1.58 \approx 1.5$.

Vậy đáp án gần nhất là A. 1,5.