Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$. Vì $BC \parallel AD$ nên $BC \parallel (SAD)$, suy ra $d(BC, SM) = d(BC, (SDM)) = d(C, (SDM)) = d(A, (SDM))$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $M$ là trung điểm $CD$ nên $AM = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Ta có $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}$. Ta có $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} \Rightarrow AH = \frac{SA \cdot AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \frac{SA \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. $\Rightarrow \frac{SA^2 \cdot \frac{5a^2}{4}}{SA^2 + \frac{5a^2}{4}} = \frac{a^2}{12} \Rightarrow \frac{5SA^2}{4SA^2 + 5a^2} = \frac{1}{12} \Rightarrow 60SA^2 = 4SA^2 + 5a^2 \Rightarrow 56SA^2 = 5a^2 \Rightarrow SA^2 = \frac{5a^2}{56} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC = \frac{1}{3}SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}SA \cdot a^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} \cdot a^2 = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{70}}{12 \cdot 14} = \frac{a^3\sqrt{70}}{168}$. Do đó, thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168}$. Ta có $m = 70$ không phải số nguyên tố. Vì $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{a^2}{2}$, ta có $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{6}SA$ $AH = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$ $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2}$ V = \frac{a^3\sqrt{70}}{168} (Sai) Khoảng cách $d(BC, SM) = d(D, SM) = d(A, SM) = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}SA \cdot a^2$. $V_{S.ABC} = \frac{1}{2} V_{S.ABCD} = \frac{1}{6} SA \cdot a^2$ $\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} = a\sqrt{\frac{5}{56}}$. Suy ra: $SA = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{56}}$ Áp dụng $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AS^2} + \frac{1}{AM^2}$ $\Rightarrow \frac{36}{3a^2} = \frac{56}{5a^2} + \frac{4}{5a^2}$ $\Rightarrow 12 = \frac{56}{5} + \frac{4}{5} = \frac{60}{5} = 12$ Vậy $SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}}$. Ta tính lại $AH = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}$. Ta được $SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$ Suy ra $V_{S.ABC} = \frac{1}{6} SA.a^2 = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} = \frac{a^3 \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7}}{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} \approx 0.05 a^3 $ $m = 70$ Không phải số nguyên tố. Kiểm tra lại giả thiết. $\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{21}}{84}$ $\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ m-n= 21-84= -63 Vì bài toán yêu cầu $m$ là số nguyên tố nên xem lại đề.