Câu hỏi:

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên $AM \perp CD$ và $BM \perp CD$. Suy ra $(ABM) \perp CD$.


Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó, $AG \perp (BCD)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc $\angle ABG = \varphi$.


Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$, ta có:


$\cos \varphi = \cos \angle ABG = \frac{BG}{AB} = \frac{\frac{2}{3}BM}{AB}$.


Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $AB=a$.


Suy ra $\cos \varphi = \frac{\frac{2}{3}.a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Gọi $x$ là cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc (trong trường hợp này, $x = 16$ cm).


Khi đó, chiều dài và chiều rộng của đáy hộp chữ nhật sẽ là $50 - 2x = 50 - 2(16) = 50 - 32 = 18$ cm.


Chiều cao của hộp chữ nhật là $x = 16$ cm.


Thể tích của hộp chữ nhật là $V = (50-2x)^2 * x = 18^2 * 16 = 324 * 16 = 5184$ ${\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Ta có $A'B' // AB$, suy ra $d(A'B', AD) = d(A'B', (ABCD)) = d(A', (ABCD))$.
Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AA' \perp (ABCD)$.
Do đó, $d(A', (ABCD)) = AA' = 5a$.

Gọi $a$ là độ dài cạnh của hình chóp đều $S.ABCD$.

$IJ$ là đường trung bình của $\Delta SBC$ nên $IJ // SB$.

Ta có $(IJ, CD) = (SB, CD)$.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$.

Ta có $SB = a$ và $BD = a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BD$, ta có $BM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$\Delta SBM$ vuông tại $M$ nên $SM = \sqrt{SB^2 - BM^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$\Delta SBD$ có $SB = SD = BD = a\sqrt{2}$ suy ra $\Delta SBD$ là tam giác đều.

Suy ra góc $(SB, BD) = 60^\circ$.

Vì $CD // AB$ nên $(SB, CD) = (SB, AB)$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp AD$ và $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AB$.

$\Delta SAB = \Delta SAD$ (c.c.c) suy ra $\widehat{SAB} = \widehat{SAD}$.

Kẻ $AH \perp SB$ tại $H$, $AK \perp SD$ tại $K$ suy ra $AH = AK$ suy ra $H \equiv K$.

Vậy góc giữa $(SB,CD)$ là $30^\circ$

Gọi góc giữa BD và đáy hố là $\alpha$.

Ta có chiều cao của hố là $AB = 2$ m.

Độ dài cạnh $AD = 1$ m và $BC = 3.5$ m, theo định lý Pytago ta có:

$\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{2^2} + 3,5{}^2} = \sqrt {4 + 12,25} = \sqrt {16,25} \)

$\tan \alpha = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{2}{{3,5}} \approx 0,5714$

$\tan \beta = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{3,5}}{2} = 1,75$

$\angle DBC = arctan(0.5714) = 29.74^o$ hoặc $ \angle BDA = arctan(1.75) = 60.26^o$

Vậy ta có cạnh đáy AB và cạnh đối diện AD. Ta xét tam giác ABD có $tan BDA = \frac{AB}{AD}$ =$\frac{2}{3.5}$=0.57

Vậy góc cần tìm là : $90 - arctan(0.57) = 90 - 29.74 = 60.26^o$

$\tan 60.26 = 1.02$