Câu hỏi:

Ta có:

$A = \{x \in \mathbb{R} | x - 1 > 0\} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1\} = (1; +\infty)$

$B = \{x \in \mathbb{R} | x - 2022 \le 0\} = \{x \in \mathbb{R} | x \le 2022\} = (-\infty; 2022]$

Vậy $A \cup B = (-\infty; 2022] \cup (1; +\infty) = \mathbb{R}$

Ta có: $A = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 \tan \alpha \cot \alpha + 2 \tan \alpha \cot \alpha = {(\tan \alpha - \cot \alpha)^2} + 2 \tan \alpha \cot \alpha$.

Vì $\tan \alpha \cot \alpha = 1$ nên $A = {(\tan \alpha - \cot \alpha)^2} + 2 = {3^2} + 2 = 9 + 2 = 11$.

a) Đúng. Thay tọa độ hai điểm $A(0 ; 2)$ và $B(2 ; 0)$ vào phương trình đường thẳng $d: x+y-2=0$ ta thấy thỏa mãn.

b) Đúng. Thay $x=0, y=0$ vào bất phương trình $x+y-2 \geq 0$, ta được $-2 \geq 0$ (vô lí) nên gốc toạ độ $O(0 ; 0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

c) Đúng. Thay $x=1, y=4$ vào bất phương trình $x+y-2 \geq 0$, ta được $3 \geq 0$ (đúng) nên điểm $M(1 ; 4)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

d) Sai. Phần không bị gạch trong hình bên dưới (bao gồm cả bờ $d: x+y-2=0$ ) là miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2 \geq 0$.

.

Ta xét từng đáp án:

• a) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó, $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Vậy a) đúng.


• b) Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{NB} = -\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CN}$. Vậy b) đúng.


• c) Ta có $\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{NM}$. Do đó c) sai.


• d) $\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN}$. Gọi $P$ là trung điểm của $AB$. Ta có $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN}$. Vậy $\left| {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{a}{2}$. Vậy d) đúng.