Câu hỏi:

Gọi $a = 52, b = 56, c = 60$.

Nửa chu vi của tam giác là $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{52+56+60}{2} = 84$.

Diện tích tam giác là $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{84(84-52)(84-56)(84-60)} = \sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24} = \sqrt{1806336} = 1344$.

Bán kính đường tròn nội tiếp là $r = \frac{S}{p} = \frac{1344}{84} = 16$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R = \frac{abc}{4S} = \frac{52 \cdot 56 \cdot 60}{4 \cdot 1344} = \frac{174720}{5376} = 32.5$.

Vậy $R \cdot r = 32.5 \cdot 16 = 520$.

Ta thấy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Vậy có 2 cặp vectơ ngược hướng.

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các bạn giỏi các môn Toán, Văn, Anh.

Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

Số bạn chỉ giỏi Toán là: 16 – 5 – 4 – 3 = 4 (bạn).

Số bạn chỉ giỏi Văn là: 17 – 5 – 4 – 3 = 5 (bạn).

Số bạn chỉ giỏi Anh là: 18 – 5 – 5 – 3 = 5 (bạn).

Số học sinh có tên trong danh sách là: 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 5 + 5 = 31 (bạn).

Gọi $x, y$ lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về để lợi nhuận thu được là lớn nhất ( $x, y \in \mathbb{N}$ ).

Số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng nên ta có: $40 x+30 y \leq 36000$.

Nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 xe nên: $x+y \leq 1100$.

Nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu Vision nên: $x \leq \frac{3}{2} y$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 40 x+30 y \leq 36000 \\ x+y \leq 1100 \\ x \leq \frac{3}{2} y\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ trên mặt phẳng $O x y$ ta được miền tứ giác $O E F K$, với $O(0 ; 0), E(600 ; 400), F(300 ; 800), K(0 ; 1100)$.

Lợi nhuận: $F(x ; y)=5 x+3,2 y$ (triệu đồng).

$\begin{aligned}

& F(0 ; 0)=0 \\

& F(600 ; 400)=4280 \\

& F(300 ; 800)=4060 \\

& F(0 ; 1100)=3520 .

\end{aligned}$

Vậy cửa hàng nhập 600 xe Lead và 400 xe Vision thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là: $5 \times 600+3,2 \times 400=4280$ triệu đồng.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC , ta tính được

$A C=\sqrt{10^2+12^2-2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 120^{\circ}}=2 \sqrt{91}$(m).