Để tìm giá trị nhỏ nhất của $F = 2x + y$ với điều kiện đã cho, ta cần tìm các điểm cực trị của miền nghiệm và tính giá trị của $F$ tại các điểm đó.
Miền nghiệm được xác định bởi hệ bất phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y \le 2}\\{x - 2y \le 2}\\{y \ge 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.$
Các điểm cực trị của miền nghiệm thường là giao điểm của các đường thẳng:
$2x - y = 2$
$x - 2y = 2$
$x = 0$
$y = 0$
Ta xét các giao điểm:
- Giao điểm của $x=0$ và $y=0$ là $(0, 0)$. Khi đó $F = 2(0) + 0 = 0$.
- Giao điểm của $2x - y = 2$ và $x = 0$ là $(0, -2)$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.
- Giao điểm của $x - 2y = 2$ và $y = 0$ là $(2, 0)$. Khi đó $F = 2(2) + 0 = 4$.
- Giao điểm của $2x - y = 2$ và $x - 2y = 2$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 2}\\{x - 2y = 2}\end{array}} \right.$
Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được $2x - 4y = 4$. Trừ phương trình này cho phương trình thứ nhất, ta được $3y = -2$, suy ra $y = -\frac{2}{3}$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.
- Giao điểm của $2x - y = 2$ và $y = 0$ là $(1, 0)$. Khi đó $F = 2(1) + 0 = 2$.
- Giao điểm của $x - 2y = 2$ và $x = 0$ là $(0, -1)$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.
Trong các điểm thỏa mãn điều kiện $x \ge 0$ và $y \ge 0$, ta có các điểm $(0, 0)$ và $(2, 0)$ và $(1,0)$.
Giá trị của $F$ tại các điểm này là: $F(0, 0) = 0$, $F(2, 0) = 4$, $F(1,0)=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ là 0, đạt được tại điểm $(0, 0)$.
