Câu hỏi:

Cho hàm số $y = f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 2x+1 \, \, khi \, x \le 1 \\ & \sqrt{x^2+a} \, \, khi \, x>1 \\ \end{aligned} \right.$ . Để tồn tại giới hạn $\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} f(x)$ thì giá trị của tham số $a$ bằng

2

5

8

-8

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 1} f(x)$, ta cần có giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại $x = 1$ bằng nhau.

Giới hạn trái: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$.
Giới hạn phải: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^2 + a} = \sqrt{1^2 + a} = \sqrt{1 + a}$.

Để giới hạn tồn tại, ta cần có $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$, tức là $3 = \sqrt{1 + a}$.
Suy ra $3^2 = 1 + a$, hay $9 = 1 + a$, vậy $a = 8$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu trắc nghiệm cuối HK1 Toán 11 - CTST - Đề 2

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Cho $\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}(\sqrt{x^2+ax+5}+x)=5$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Ta có: $\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}(\sqrt{x^2+ax+5}+x)=5$
$\Leftrightarrow \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}\frac{x^2+ax+5-x^2}{\sqrt{x^2+ax+5}-x}=5$
$\Leftrightarrow \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}\frac{ax+5}{\sqrt{x^2+ax+5}-x}=5$
$\Leftrightarrow \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}\frac{x(a+\frac{5}{x})}{|x|\sqrt{1+\frac{a}{x}+\frac{5}{x^2}}-x}=5$
$\Leftrightarrow \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}\frac{x(a+\frac{5}{x})}{-x\sqrt{1+\frac{a}{x}+\frac{5}{x^2}}-x}=5$ (vì $x \to -\infty$ nên $|x|=-x$)
$\Leftrightarrow \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}}\frac{a+\frac{5}{x}}{-\sqrt{1+\frac{a}{x}+\frac{5}{x^2}}-1}=5$
$\Leftrightarrow \frac{a}{-\sqrt{1}-1}=5$
$\Leftrightarrow \frac{a}{-2}=5$
$\Leftrightarrow a=-10$
Kiểm tra các đáp án, ta thấy $x=-10$ là nghiệm của phương trình $x^2-11x+10=0$.

Câu 12:

Cho hàm số $y = f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2}\, \, khi \, \,x\ne 1 \\ & 8+a^2\, \, khi \, \,x=1 \\ \end{aligned} \right.$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại $x=1$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hàm số liên tục tại $x=1$, ta cần có $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Ta có $f(1) = 8 + a^2$.

Tính $\lim_{x \to 1} f(x)$:

$\lim_{x \to 1} \dfrac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2} = \lim_{x \to 1} \dfrac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}$

$= \lim_{x \to 1} \dfrac{(ax^2-(a-2)x-2)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(ax^2-(a-2)x-2)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$

Vì $x \to 1$, thay $x=1$ vào tử số, ta có $a - (a-2) - 2 = a - a + 2 - 2 = 0$. Vậy $x=1$ là nghiệm của tử số.

Phân tích tử số: $ax^2 - (a-2)x - 2 = (x-1)(ax+2)$

$\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(ax+2)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (ax+2)(\sqrt{x+3}+2) = (a+2)(\sqrt{1+3}+2) = (a+2)(2+2) = 4(a+2) = 4a + 8$

Để hàm số liên tục tại $x=1$, ta cần $4a+8 = 8+a^2 \Leftrightarrow a^2 - 4a = 0 \Leftrightarrow a(a-4) = 0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=4$.

Vậy có 2 giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại $x=1$.

Câu 13:

Cho dãy số $(u_n)$ , biết $u_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n(n+1)}$

A. Số hạng

u_1=\dfrac{1}{2}

B. Số hạng

u_3=\dfrac{3}{4}

\dfrac{10}{11}

là số hạng thứ

11

của dãy số

u_{2 \, 023}+u_{2 \, 024}>2

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 14:

Khi đo mắt cho học sinh khối 10 ở một trường THPT nhân viên y tế ghi nhận lại ở bảng sau:

Thời gian	Số lần
$\big[0,25 \, ; \, 0,75\big)$	$25$
$\big[0,75 \, ; \, 1,25\big)$	$32$
$\big[1,25 \, ; \, 1,75\big)$	$14$
$\big[1,75 \, ; \, 2,25\big)$	$12$
$\big[2,25 \, ; \, 2,75\big)$	$4$

A. Số trung bình của mẫu số liệu trên là

1,14

B. Nhóm chứa mốt của số liệu là

[0,75;1,25)

C. Mốt của mẫu số liệu là

M_0=0,89

D. Trung vị của mẫu số liệu là

M_e=1,039

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 15:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ ; $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ , $SD$ ; $P$ thuộc đọan $SC$ và không là trung điểm của $SC$

A. Giao tuyến của hai mặt phẳng

(SAC)

và

(SBD)

là

SO

B. Giao điểm

E

của đường thẳng

SO

và mặt phẳng

(MNP)

là giao điểm của

MN

và

SO

C. Giao điểm

Q

đường thẳng

SA

và mặt phẳng

(MNP)

là giao điểm của

PE

và

SO

D. Gọi

I

J

K

lần lượt là giao điểm của

QM

và

AB

QP

và

AC

QN

và

AD

. Khi đó,

I

J

K

thẳng hàng

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 16:

Nhà anh Đô có một hồ hình chữ nhật rộng $10$ hecta và có độ sâu trung bình $1,5$ m. Trong hồ có chứa $5 \, 000$ m $^3$ nước ngọt. Để nuôi tôm, anh Đô bơm nước biển có nồng độ muối là $30$ gam/lít vào hồ với tốc độ $10$ m $^3$ /phút. Theo nghiên cứu, độ mặn (đo bằng các máy kiểm tra nước thích hợp) trong ao nuôi tôm thẻ chân trắng nằm trong khoảng từ $2 - 40$ ‰. Tôm sống và phát triển tốt nhất với chỉ số từ $10 - 25$ ‰

A. Sau

t

phút thì lượng muối trong hồ là

300t

(kg)

B. Sau

t

phút, lượng nước trong hồ là

5 \, 000+10t

^3

)

C. Nồng độ muối của nước trong trong hồ tại thời điểm

t

phút kể từ khi bơm là

C(t)=\dfrac{500+t}{30t}

(g/l)

D. Khi

t

đủ lớn thì nước trong hồ sẽ thích hợp để tôm phát triển

Lời giải: