Câu hỏi:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F\left( 5 \right) = 2 + F\left( 1 \right)$. Giá trị của $\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng

A. $8$.

B. $2$.

C. $ - 2$.

$ - 8$.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên $\int_1^5 f(x) dx = F(5) - F(1)$.
Theo đề bài, $F(5) = 2 + F(1)$.
Suy ra $\int_1^5 f(x) dx = 2 + F(1) - F(1) = 2$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x$

a) Hàm số $f\left( x \right)$ có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\]

b) $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} $

c) $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} $

d) Nếu hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và thoả mãn $F\left( 0 \right) = 1$ thì $F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Hàm số $f(x) = \frac{x}{2} + \cos x$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$ vì cả $\frac{x}{2}$ và $\cos x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$. Do đó, mệnh đề a) sai.

b) Ta có $\int f(x) dx = \int (\frac{x}{2} + \cos x) dx = \frac{x^2}{4} + \sin x + C$. Vậy mệnh đề b) sai.

c) Ta có $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 (\frac{x}{2} + \cos x) dx = (\frac{x^2}{4} + \sin x) |_0^2 = (\frac{2^2}{4} + \sin 2) - (\frac{0^2}{4} + \sin 0) = 1 + \sin 2$. Vậy mệnh đề c) đúng.

d) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x) = \frac{x^2}{4} + \sin x + C$. Vì $F(0) = 1$ nên $1 = \frac{0^2}{4} + \sin 0 + C \Rightarrow C = 1$. Vậy $F(x) = \frac{x^2}{4} + \sin x + 1$. Khi đó $F(1) = \frac{1^2}{4} + \sin 1 + 1 = \frac{5}{4} + \sin 1 \neq \frac{1}{4}$. Vậy mệnh đề d) sai.

Câu 14:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\]

a) \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\]

b) Hàm số \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\]

c) \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n\], với \[m,n \in {\mathbb{N}^ * }\], \[\frac{m}{n}\] là phân số tối giản. Tổng \[m + 2025n = 4057\]

d) Gọi \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[G\left( 1 \right) = 4\] và \[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20\]. Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\], với \[a,b,c\] là các số hữu tỉ. Tổng \[a + b + c = \frac{2}{3}\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 15:

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4$. Ở đây $P\left( x \right)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

a) Lợi nhuận khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

$P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x$

b) Lợi nhuận khi bán được $50$ sản phẩm đầu tiên là $519$ triệu đồng.

c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $a$ đơn vị sản phẩm lớn hơn $517$ triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của $a$ là $100$

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $55$ đơn vị sản phẩm là $49,79$ triệu đồng

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) $P(x) = \int P'(x) dx = \int (-0.0008x + 10.4) dx = -0.0004x^2 + 10.4x + C$. Không có thông tin để xác định $C$, vì vậy câu a) sai.

b) $P'(50) = -0.0008(50) + 10.4 = -0.04 + 10.4 = 10.36$. Để tính lợi nhuận khi bán 50 sản phẩm đầu tiên, ta cần tích phân $P'(x)$ từ 0 đến 50, tức là tính $P(50) - P(0)$. Nếu $P(0)=0$, thì $P(50) = -0.0004(50^2) + 10.4(50) = -0.0004(2500) + 520 = -1 + 520 = 519$ triệu đồng. Vậy câu b) đúng.

c) Ta có $P(a) - P(50) > 517$. Ta có $P(a) = -0.0004a^2 + 10.4a$ và $P(50) = 519$. Vậy $-0.0004a^2 + 10.4a - 519 > 517$ hay $-0.0004a^2 + 10.4a - 1036 > 0$. Giải bất phương trình này rất phức tạp. Tuy nhiên, câu hỏi có lẽ muốn ta xét $P'(x)$ để ước lượng. $P'(x) = -0.0008x + 10.4$. Nếu $a = 100$, thì $P'(100) = -0.0008(100) + 10.4 = -0.08 + 10.4 = 10.32$. Sự thay đổi lợi nhuận là $\int_{50}^{a} P'(x)dx > 517$. Nếu $a = 100$ thì $\int_{50}^{100} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{100} = (-0.0004(10000) + 1040) - (-0.0004(2500) + 520) = (-4 + 1040) - (-1 + 520) = 1036 - 519 = 517$. Vậy giá trị nhỏ nhất của a phải lớn hơn 100. Suy ra câu c) sai.

d) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 là $\int_{50}^{55} P'(x)dx = \int_{50}^{55} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{55} = (-0.0004(55^2) + 10.4(55)) - (-0.0004(50^2) + 10.4(50)) = (-0.0004(3025) + 572) - (-0.0004(2500) + 520) = (-1.21 + 572) - (-1 + 520) = 570.79 - 519 = 51.79$. Vậy câu d) sai. Đề đã cho là 49.79. Vậy câu d) sai.

Câu 16:

Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và hàm số $g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$ có đồ thị $\left( d \right)$ (xem hình bên).

c (ảnh 1)

a) $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} $ với $C$ là hằng số.

b) Nếu $f\left( x \right)$ có một nguyên hàm là hàm số $F\left( x \right)$ và $F\left( 1 \right) = 0$ thì $F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2$

c) Hình phẳng ${H_1}$ (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, đồ thị $\left( d \right)$ và các đường $x = 1,x = 4$ có diện tích là ${S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4$

d) Nếu ${S_1},{S_2}$ lần lượt là diện tích hình phẳng ${H_1}$ (phần gạch chéo) và ${H_2}$ (hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và các đường $x = 1,x = 4$) thì $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) $\int f(x) dx = \int (1 + \frac{1}{x}) dx = x + \ln|x| + C$. Vậy a) sai.
b) $F(x) = \int f(x) dx = x + \ln|x| + C$.
Vì $F(1) = 0$ nên $1 + \ln(1) + C = 0 \Rightarrow C = -1$.
Vậy $F(x) = x + \ln|x| - 1$.
Suy ra $F(2) = 2 + \ln(2) - 1 = 1 + \ln 2$. Vậy b) đúng.
c) Xét phương trình $f(x) = g(x) \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{x} = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4x + 4 = -x^2 + 9x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4$.
Diện tích hình phẳng ${H_1}$ là: $S_1 = \int_1^4 |f(x) - g(x)| dx = \int_1^4 |1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}| dx = \int_1^4 |\frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - \frac{5}{4}| dx$
$= |\frac{x^2}{8} + \ln x - \frac{5}{4}x| |_1^4 = |(2 + \ln 4 - 5) - (\frac{1}{8} + 0 - \frac{5}{4})| = |-3 + \ln 4 + \frac{9}{8}| = |-\frac{15}{8} + \ln 4| = \frac{15}{8} - \ln 4$. Vậy c) đúng.
d) Diện tích hình phẳng ${H_2}$ là: $S_2 = \int_1^4 |f(x)| dx = \int_1^4 (1 + \frac{1}{x}) dx = (x + \ln x) |_1^4 = (4 + \ln 4) - (1 + 0) = 3 + \ln 4$.
Vậy $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} \neq \frac{5}{8}$. Vậy d) sai.
Vậy chỉ có c) đúng.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21$. Giá trị của $f\left( 2 \right)$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đặt $I = \int_1^2 f(t) dt$. Khi đó, $f(x) = 16x^3 - 15x^2 + 2xI - 21$. Ta có: $I = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 + 2tI - 21) dt = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 - 21) dt + I \int_1^2 2t dt$ $I = (4t^4 - 5t^3 - 21t) \Big|_1^2 + I(t^2) \Big|_1^2 = (64 - 40 - 42) - (4 - 5 - 21) + I(4-1)$ $I = -18 + 22 + 3I => -2I = 4 => I = -2$. Vậy $f(x) = 16x^3 - 15x^2 - 4x - 21$. $f(2) = 16(8) - 15(4) - 4(2) - 21 = 128 - 60 - 8 - 21 = 39$.

Câu 18:

Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng với thể tích của một vật thể $\left( V \right)$ trong không gian. Biết rằng, điểm $M$ thuộc $\left( V \right)$ khi và chỉ khi $MA \le \sqrt 2 \,{\rm{dm}}$ hoặc $MB \le \sqrt 5 \,{\rm{dm}}$, trong đó \[A\] và \[B\] là hai điểm cố định, \[AB = 3\,\,{\rm{dm}}\]. Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Lời giải: