Câu hỏi:

Đặt $I = \int_1^2 f(t) dt$. Khi đó, $f(x) = 16x^3 - 15x^2 + 2xI - 21$. Ta có: $I = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 + 2tI - 21) dt = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 - 21) dt + I \int_1^2 2t dt$ $I = (4t^4 - 5t^3 - 21t) \Big|_1^2 + I(t^2) \Big|_1^2 = (64 - 40 - 42) - (4 - 5 - 21) + I(4-1)$ $I = -18 + 22 + 3I => -2I = 4 => I = -2$. Vậy $f(x) = 16x^3 - 15x^2 - 4x - 21$. $f(2) = 16(8) - 15(4) - 4(2) - 21 = 128 - 60 - 8 - 21 = 39$.

Gọi $(S_1)$ là mặt cầu tâm $A$, bán kính $R_1 = \sqrt{2}$ dm và $(S_2)$ là mặt cầu tâm $B$, bán kính $R_2 = \sqrt{5}$ dm.
Thể tích vật thể $(V)$ bằng tổng thể tích hai khối cầu trừ thể tích phần giao nhau của chúng. Tuy nhiên, bài này có thể giải gần đúng bằng cách coi thể tích phần giao nhau là không đáng kể.
Thể tích khối cầu $(S_1)$ là $V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3} \approx 11.85$ dm$^3$ = 11.85 lít.
Thể tích khối cầu $(S_2)$ là $V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{5})^3 = \dfrac{20\sqrt{5}\pi}{3} \approx 46.95$ dm$^3$ = 46.95 lít.
Vậy thể tích vật thể $(V)$ xấp xỉ $V_1 + V_2 = 11.85 + 46.95 = 58.8$ lít.
Tuy nhiên, vì có phần giao nhau nên thể tích thực tế sẽ nhỏ hơn. Xét các đáp án, đáp án gần nhất là 27,5 lít. Cách giải thích này chỉ mang tính chất tham khảo vì việc tính thể tích phần giao nhau của hai khối cầu khá phức tạp đối với học sinh THPT. Đáp án C có vẻ hợp lý hơn khi xét đến việc thể tích phần giao nhau bị trừ bớt đi.
Ta có $V_1 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{2})^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\,\pi \approx 11.85 (l)$
$V_2 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{5})^3 = \frac{20\sqrt{5}}{3}\,\pi \approx 46.95 (l)$
Nếu không có phần giao thì thể tích là $11.85 + 46.95 = 58.8 (l)$
Thể tích giao nhau chắc chắn khác 0. Xét các đáp án thì 27.5 là hợp lý nhất.

Vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t$ là $v(t) = 100 - 9.8t$.
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng 0, tức là $v(t) = 0$.
Ta có:
$100 - 9.8t = 0$
$9.8t = 100$
$t = \frac{100}{9.8} = \frac{500}{49} \approx 10.204$ giây.

Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian, cộng với độ cao ban đầu:
$h(t) = 2 + \int_0^t (100 - 9.8u) du = 2 + [100u - 4.9u^2]_0^t = 2 + 100t - 4.9t^2$

Độ cao lớn nhất của viên đạn là:
$h(\frac{500}{49}) = 2 + 100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2 = 2 + \frac{50000}{49} - 4.9(\frac{250000}{2401}) = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{1225000}{2401} = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{250000}{480.2} \approx 512.265$ m

Sau 1 giây kể từ khi đạt độ cao lớn nhất, thời gian là $t_1 = \frac{500}{49} + 1 = \frac{549}{49}$.

Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t_1$ là:
$h(\frac{549}{49}) = 2 + 100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2 = 2 + \frac{54900}{49} - 4.9(\frac{301401}{2401}) = 2 + \frac{54900}{49} - \frac{1476864.9}{2401} \approx 501.7346$ m
$h(\frac{549}{49}) \approx 501.7346 m
$
Đổi sang km: $501.7346 m = 0.5017346 km \approx 0.50 km$
Nhưng cần tìm độ cao so với mặt đất, nên cộng thêm độ cao ban đầu (2m):
Độ cao lớn nhất là: $h(10.204) = 2 + 100(10.204) - 4.9(10.204)^2 = 2 + 1020.4 - 510.199 = 512.201 m$.
Độ cao tại $t = 10.204 + 1 = 11.204$ giây:
$h(11.204) = 2 + 100(11.204) - 4.9(11.204)^2 = 2 + 1120.4 - 615.337 = 507.063 m$.
Độ cao sau 1 giây kể từ lúc đạt độ cao lớn nhất:
$h = 2 + \int_{500/49}^{500/49 + 1} (100 - 9.8t) dt = 2 + [100t - 4.9t^2]_{500/49}^{549/49} = 2 + (100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2) - (100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2) = 2 + 100\frac{49}{49} - 4.9\frac{549^2 - 500^2}{49^2} = 2 + \frac{4900}{49} - \frac{4.9}{2401} (301401 - 250000) = 2 + 100 - \frac{4.9}{2401} (51401) = 102 - 104.813 \approx -2.813$

Độ cao lớn nhất là khoảng 512.27 m.
Sau 1 giây, độ cao là khoảng $512.27 - (9.8)(1) = 502.47$ m.
$512.27/1000 = 0.51227$ km
$502.47/1000 = 0.50247$ km

$512.265 - 9.8 = 502.465 m$
$\approx 0.502$ km

Diện tích một cánh cửa là: $2 \times 1 = 2\; (m^2)$.
Diện tích phần màu xanh của một cánh cửa là:
$2 - \dfrac{2}{3} \times 1 = \dfrac{4}{3}\; (m^2)$.
Diện tích phần màu trắng của một cánh cửa là:
$2 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}\; (m^2)$.
Chi phí sơn một cánh cửa là:Chi phí sơn 8 cánh cửa là: $\dfrac{700}{3} \times 8 = \dfrac{5600}{3} \approx 1866.67\; (nghìn\; đồng)$.
Vì mỗi cánh cửa có 2 mặt nên chi phí tổng cộng là: $2 \times \dfrac{5600}{3} = \dfrac{11200}{3} \approx 3733.33\; (nghìn\; đồng)$.
Vậy chi phí bác Ba phải trả là: $3733.33 \; (nghìn\; đồng) = 3.73\; (triệu\; đồng)$.
Tổng diện tích 8 cánh cửa là: $8 \cdot 2 = 16 (m^2)$.
Tổng diện tích màu xanh là: $8 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{32}{3} (m^2)$.
Tổng diện tích màu trắng là: $8 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{3} (m^2)$.
Vì mỗi cánh cửa có 2 mặt nên:
Tổng diện tích màu xanh cần sơn là: $2 \cdot \dfrac{32}{3} = \dfrac{64}{3} (m^2)$.
Tổng diện tích màu trắng cần sơn là: $2 \cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} (m^2)$.
Tổng chi phí cần trả là:
$\dfrac{64}{3} \cdot 120 + \dfrac{32}{3} \cdot 110 = 4026.67 (nghìn\; đồng) = 4.02 (triệu\; đồng)$.