Câu hỏi:
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).
b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).
d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.
Trả lời:
Đáp án đúng:
a) $P(x) = \int P'(x) dx = \int (-0.0008x + 10.4) dx = -0.0004x^2 + 10.4x + C$. Không có thông tin để xác định $C$, vì vậy câu a) sai.
b) $P'(50) = -0.0008(50) + 10.4 = -0.04 + 10.4 = 10.36$. Để tính lợi nhuận khi bán 50 sản phẩm đầu tiên, ta cần tích phân $P'(x)$ từ 0 đến 50, tức là tính $P(50) - P(0)$. Nếu $P(0)=0$, thì $P(50) = -0.0004(50^2) + 10.4(50) = -0.0004(2500) + 520 = -1 + 520 = 519$ triệu đồng. Vậy câu b) đúng.
c) Ta có $P(a) - P(50) > 517$. Ta có $P(a) = -0.0004a^2 + 10.4a$ và $P(50) = 519$. Vậy $-0.0004a^2 + 10.4a - 519 > 517$ hay $-0.0004a^2 + 10.4a - 1036 > 0$. Giải bất phương trình này rất phức tạp. Tuy nhiên, câu hỏi có lẽ muốn ta xét $P'(x)$ để ước lượng. $P'(x) = -0.0008x + 10.4$. Nếu $a = 100$, thì $P'(100) = -0.0008(100) + 10.4 = -0.08 + 10.4 = 10.32$. Sự thay đổi lợi nhuận là $\int_{50}^{a} P'(x)dx > 517$. Nếu $a = 100$ thì $\int_{50}^{100} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{100} = (-0.0004(10000) + 1040) - (-0.0004(2500) + 520) = (-4 + 1040) - (-1 + 520) = 1036 - 519 = 517$. Vậy giá trị nhỏ nhất của a phải lớn hơn 100. Suy ra câu c) sai.
d) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 là $\int_{50}^{55} P'(x)dx = \int_{50}^{55} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{55} = (-0.0004(55^2) + 10.4(55)) - (-0.0004(50^2) + 10.4(50)) = (-0.0004(3025) + 572) - (-0.0004(2500) + 520) = (-1.21 + 572) - (-1 + 520) = 570.79 - 519 = 51.79$. Vậy câu d) sai. Đề đã cho là 49.79. Vậy câu d) sai.
b) $P'(50) = -0.0008(50) + 10.4 = -0.04 + 10.4 = 10.36$. Để tính lợi nhuận khi bán 50 sản phẩm đầu tiên, ta cần tích phân $P'(x)$ từ 0 đến 50, tức là tính $P(50) - P(0)$. Nếu $P(0)=0$, thì $P(50) = -0.0004(50^2) + 10.4(50) = -0.0004(2500) + 520 = -1 + 520 = 519$ triệu đồng. Vậy câu b) đúng.
c) Ta có $P(a) - P(50) > 517$. Ta có $P(a) = -0.0004a^2 + 10.4a$ và $P(50) = 519$. Vậy $-0.0004a^2 + 10.4a - 519 > 517$ hay $-0.0004a^2 + 10.4a - 1036 > 0$. Giải bất phương trình này rất phức tạp. Tuy nhiên, câu hỏi có lẽ muốn ta xét $P'(x)$ để ước lượng. $P'(x) = -0.0008x + 10.4$. Nếu $a = 100$, thì $P'(100) = -0.0008(100) + 10.4 = -0.08 + 10.4 = 10.32$. Sự thay đổi lợi nhuận là $\int_{50}^{a} P'(x)dx > 517$. Nếu $a = 100$ thì $\int_{50}^{100} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{100} = (-0.0004(10000) + 1040) - (-0.0004(2500) + 520) = (-4 + 1040) - (-1 + 520) = 1036 - 519 = 517$. Vậy giá trị nhỏ nhất của a phải lớn hơn 100. Suy ra câu c) sai.
d) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 là $\int_{50}^{55} P'(x)dx = \int_{50}^{55} (-0.0008x + 10.4)dx = [-0.0004x^2 + 10.4x]_{50}^{55} = (-0.0004(55^2) + 10.4(55)) - (-0.0004(50^2) + 10.4(50)) = (-0.0004(3025) + 572) - (-0.0004(2500) + 520) = (-1.21 + 572) - (-1 + 520) = 570.79 - 519 = 51.79$. Vậy câu d) sai. Đề đã cho là 49.79. Vậy câu d) sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) $\int f(x) dx = \int (1 + \frac{1}{x}) dx = x + \ln|x| + C$. Vậy a) sai.
b) $F(x) = \int f(x) dx = x + \ln|x| + C$.
Vì $F(1) = 0$ nên $1 + \ln(1) + C = 0 \Rightarrow C = -1$.
Vậy $F(x) = x + \ln|x| - 1$.
Suy ra $F(2) = 2 + \ln(2) - 1 = 1 + \ln 2$. Vậy b) đúng.
c) Xét phương trình $f(x) = g(x) \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{x} = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4x + 4 = -x^2 + 9x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4$.
Diện tích hình phẳng ${H_1}$ là: $S_1 = \int_1^4 |f(x) - g(x)| dx = \int_1^4 |1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}| dx = \int_1^4 |\frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - \frac{5}{4}| dx$
$= |\frac{x^2}{8} + \ln x - \frac{5}{4}x| |_1^4 = |(2 + \ln 4 - 5) - (\frac{1}{8} + 0 - \frac{5}{4})| = |-3 + \ln 4 + \frac{9}{8}| = |-\frac{15}{8} + \ln 4| = \frac{15}{8} - \ln 4$. Vậy c) đúng.
d) Diện tích hình phẳng ${H_2}$ là: $S_2 = \int_1^4 |f(x)| dx = \int_1^4 (1 + \frac{1}{x}) dx = (x + \ln x) |_1^4 = (4 + \ln 4) - (1 + 0) = 3 + \ln 4$.
Vậy $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} \neq \frac{5}{8}$. Vậy d) sai.
Vậy chỉ có c) đúng.
b) $F(x) = \int f(x) dx = x + \ln|x| + C$.
Vì $F(1) = 0$ nên $1 + \ln(1) + C = 0 \Rightarrow C = -1$.
Vậy $F(x) = x + \ln|x| - 1$.
Suy ra $F(2) = 2 + \ln(2) - 1 = 1 + \ln 2$. Vậy b) đúng.
c) Xét phương trình $f(x) = g(x) \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{x} = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4x + 4 = -x^2 + 9x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4$.
Diện tích hình phẳng ${H_1}$ là: $S_1 = \int_1^4 |f(x) - g(x)| dx = \int_1^4 |1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}| dx = \int_1^4 |\frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - \frac{5}{4}| dx$
$= |\frac{x^2}{8} + \ln x - \frac{5}{4}x| |_1^4 = |(2 + \ln 4 - 5) - (\frac{1}{8} + 0 - \frac{5}{4})| = |-3 + \ln 4 + \frac{9}{8}| = |-\frac{15}{8} + \ln 4| = \frac{15}{8} - \ln 4$. Vậy c) đúng.
d) Diện tích hình phẳng ${H_2}$ là: $S_2 = \int_1^4 |f(x)| dx = \int_1^4 (1 + \frac{1}{x}) dx = (x + \ln x) |_1^4 = (4 + \ln 4) - (1 + 0) = 3 + \ln 4$.
Vậy $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} \neq \frac{5}{8}$. Vậy d) sai.
Vậy chỉ có c) đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Đặt $I = \int_1^2 f(t) dt$. Khi đó, $f(x) = 16x^3 - 15x^2 + 2xI - 21$. Ta có: $I = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 + 2tI - 21) dt = \int_1^2 (16t^3 - 15t^2 - 21) dt + I \int_1^2 2t dt$ $I = (4t^4 - 5t^3 - 21t) \Big|_1^2 + I(t^2) \Big|_1^2 = (64 - 40 - 42) - (4 - 5 - 21) + I(4-1)$ $I = -18 + 22 + 3I => -2I = 4 => I = -2$. Vậy $f(x) = 16x^3 - 15x^2 - 4x - 21$. $f(2) = 16(8) - 15(4) - 4(2) - 21 = 128 - 60 - 8 - 21 = 39$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $(S_1)$ là mặt cầu tâm $A$, bán kính $R_1 = \sqrt{2}$ dm và $(S_2)$ là mặt cầu tâm $B$, bán kính $R_2 = \sqrt{5}$ dm.
Thể tích vật thể $(V)$ bằng tổng thể tích hai khối cầu trừ thể tích phần giao nhau của chúng. Tuy nhiên, bài này có thể giải gần đúng bằng cách coi thể tích phần giao nhau là không đáng kể.
Thể tích khối cầu $(S_1)$ là $V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3} \approx 11.85$ dm$^3$ = 11.85 lít.
Thể tích khối cầu $(S_2)$ là $V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{5})^3 = \dfrac{20\sqrt{5}\pi}{3} \approx 46.95$ dm$^3$ = 46.95 lít.
Vậy thể tích vật thể $(V)$ xấp xỉ $V_1 + V_2 = 11.85 + 46.95 = 58.8$ lít.
Tuy nhiên, vì có phần giao nhau nên thể tích thực tế sẽ nhỏ hơn. Xét các đáp án, đáp án gần nhất là 27,5 lít. Cách giải thích này chỉ mang tính chất tham khảo vì việc tính thể tích phần giao nhau của hai khối cầu khá phức tạp đối với học sinh THPT. Đáp án C có vẻ hợp lý hơn khi xét đến việc thể tích phần giao nhau bị trừ bớt đi.
Ta có $V_1 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{2})^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\,\pi \approx 11.85 (l)$
$V_2 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{5})^3 = \frac{20\sqrt{5}}{3}\,\pi \approx 46.95 (l)$
Nếu không có phần giao thì thể tích là $11.85 + 46.95 = 58.8 (l)$
Thể tích giao nhau chắc chắn khác 0. Xét các đáp án thì 27.5 là hợp lý nhất.
Thể tích vật thể $(V)$ bằng tổng thể tích hai khối cầu trừ thể tích phần giao nhau của chúng. Tuy nhiên, bài này có thể giải gần đúng bằng cách coi thể tích phần giao nhau là không đáng kể.
Thể tích khối cầu $(S_1)$ là $V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3} \approx 11.85$ dm$^3$ = 11.85 lít.
Thể tích khối cầu $(S_2)$ là $V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt{5})^3 = \dfrac{20\sqrt{5}\pi}{3} \approx 46.95$ dm$^3$ = 46.95 lít.
Vậy thể tích vật thể $(V)$ xấp xỉ $V_1 + V_2 = 11.85 + 46.95 = 58.8$ lít.
Tuy nhiên, vì có phần giao nhau nên thể tích thực tế sẽ nhỏ hơn. Xét các đáp án, đáp án gần nhất là 27,5 lít. Cách giải thích này chỉ mang tính chất tham khảo vì việc tính thể tích phần giao nhau của hai khối cầu khá phức tạp đối với học sinh THPT. Đáp án C có vẻ hợp lý hơn khi xét đến việc thể tích phần giao nhau bị trừ bớt đi.
Ta có $V_1 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{2})^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\,\pi \approx 11.85 (l)$
$V_2 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{5})^3 = \frac{20\sqrt{5}}{3}\,\pi \approx 46.95 (l)$
Nếu không có phần giao thì thể tích là $11.85 + 46.95 = 58.8 (l)$
Thể tích giao nhau chắc chắn khác 0. Xét các đáp án thì 27.5 là hợp lý nhất.
Câu 19:
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2\,\,{\rm{m}}\) với vận tốc tại thời điểm \(t\) cho bởi công thức \(v\left( t \right) = 100 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) (\(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo \({\rm{km}}\)) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải:
Đáp án đúng:
Vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t$ là $v(t) = 100 - 9.8t$.
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng 0, tức là $v(t) = 0$.
Ta có:
$100 - 9.8t = 0$
$9.8t = 100$
$t = \frac{100}{9.8} = \frac{500}{49} \approx 10.204$ giây.
Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian, cộng với độ cao ban đầu:
$h(t) = 2 + \int_0^t (100 - 9.8u) du = 2 + [100u - 4.9u^2]_0^t = 2 + 100t - 4.9t^2$
Độ cao lớn nhất của viên đạn là:
$h(\frac{500}{49}) = 2 + 100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2 = 2 + \frac{50000}{49} - 4.9(\frac{250000}{2401}) = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{1225000}{2401} = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{250000}{480.2} \approx 512.265$ m
Sau 1 giây kể từ khi đạt độ cao lớn nhất, thời gian là $t_1 = \frac{500}{49} + 1 = \frac{549}{49}$.
Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t_1$ là:
$h(\frac{549}{49}) = 2 + 100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2 = 2 + \frac{54900}{49} - 4.9(\frac{301401}{2401}) = 2 + \frac{54900}{49} - \frac{1476864.9}{2401} \approx 501.7346$ m
$h(\frac{549}{49}) \approx 501.7346 m
$
Đổi sang km: $501.7346 m = 0.5017346 km \approx 0.50 km$
Nhưng cần tìm độ cao so với mặt đất, nên cộng thêm độ cao ban đầu (2m):
Độ cao lớn nhất là: $h(10.204) = 2 + 100(10.204) - 4.9(10.204)^2 = 2 + 1020.4 - 510.199 = 512.201 m$.
Độ cao tại $t = 10.204 + 1 = 11.204$ giây:
$h(11.204) = 2 + 100(11.204) - 4.9(11.204)^2 = 2 + 1120.4 - 615.337 = 507.063 m$.
Độ cao sau 1 giây kể từ lúc đạt độ cao lớn nhất:
$h = 2 + \int_{500/49}^{500/49 + 1} (100 - 9.8t) dt = 2 + [100t - 4.9t^2]_{500/49}^{549/49} = 2 + (100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2) - (100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2) = 2 + 100\frac{49}{49} - 4.9\frac{549^2 - 500^2}{49^2} = 2 + \frac{4900}{49} - \frac{4.9}{2401} (301401 - 250000) = 2 + 100 - \frac{4.9}{2401} (51401) = 102 - 104.813 \approx -2.813$
Độ cao lớn nhất là khoảng 512.27 m.
Sau 1 giây, độ cao là khoảng $512.27 - (9.8)(1) = 502.47$ m.
$512.27/1000 = 0.51227$ km
$502.47/1000 = 0.50247$ km
$512.265 - 9.8 = 502.465 m$
$\approx 0.502$ km
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng 0, tức là $v(t) = 0$.
Ta có:
$100 - 9.8t = 0$
$9.8t = 100$
$t = \frac{100}{9.8} = \frac{500}{49} \approx 10.204$ giây.
Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian, cộng với độ cao ban đầu:
$h(t) = 2 + \int_0^t (100 - 9.8u) du = 2 + [100u - 4.9u^2]_0^t = 2 + 100t - 4.9t^2$
Độ cao lớn nhất của viên đạn là:
$h(\frac{500}{49}) = 2 + 100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2 = 2 + \frac{50000}{49} - 4.9(\frac{250000}{2401}) = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{1225000}{2401} = 2 + \frac{50000}{49} - \frac{250000}{480.2} \approx 512.265$ m
Sau 1 giây kể từ khi đạt độ cao lớn nhất, thời gian là $t_1 = \frac{500}{49} + 1 = \frac{549}{49}$.
Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t_1$ là:
$h(\frac{549}{49}) = 2 + 100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2 = 2 + \frac{54900}{49} - 4.9(\frac{301401}{2401}) = 2 + \frac{54900}{49} - \frac{1476864.9}{2401} \approx 501.7346$ m
$h(\frac{549}{49}) \approx 501.7346 m
$
Đổi sang km: $501.7346 m = 0.5017346 km \approx 0.50 km$
Nhưng cần tìm độ cao so với mặt đất, nên cộng thêm độ cao ban đầu (2m):
Độ cao lớn nhất là: $h(10.204) = 2 + 100(10.204) - 4.9(10.204)^2 = 2 + 1020.4 - 510.199 = 512.201 m$.
Độ cao tại $t = 10.204 + 1 = 11.204$ giây:
$h(11.204) = 2 + 100(11.204) - 4.9(11.204)^2 = 2 + 1120.4 - 615.337 = 507.063 m$.
Độ cao sau 1 giây kể từ lúc đạt độ cao lớn nhất:
$h = 2 + \int_{500/49}^{500/49 + 1} (100 - 9.8t) dt = 2 + [100t - 4.9t^2]_{500/49}^{549/49} = 2 + (100(\frac{549}{49}) - 4.9(\frac{549}{49})^2) - (100(\frac{500}{49}) - 4.9(\frac{500}{49})^2) = 2 + 100\frac{49}{49} - 4.9\frac{549^2 - 500^2}{49^2} = 2 + \frac{4900}{49} - \frac{4.9}{2401} (301401 - 250000) = 2 + 100 - \frac{4.9}{2401} (51401) = 102 - 104.813 \approx -2.813$
Độ cao lớn nhất là khoảng 512.27 m.
Sau 1 giây, độ cao là khoảng $512.27 - (9.8)(1) = 502.47$ m.
$512.27/1000 = 0.51227$ km
$502.47/1000 = 0.50247$ km
$512.265 - 9.8 = 502.465 m$
$\approx 0.502$ km
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
