Câu hỏi:

Từ đồ thị hàm số, ta có:

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = -1$ nên $c = 1$.
• Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;3)$ nên $f(0) = 3$.
• Đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;-1)$ nên $f(1) = -1$.

Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} c = 1 \\ f(0) = 3 \\ f(1) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 \\ \frac{3}{c} = 3 \\ \frac{a+b+3}{1+c} = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 \\ a = -4 \\ b = -1 \end{cases}$ Vậy $S = a + b + c = -4 - 1 + 1 = -4$. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp. Ta xét lại.
Vì $x=-1$ là tiệm cận đứng nên $x+c=0$ có nghiệm $x=-1$ suy ra $c=1$. Vì đồ thị đi qua $(0,3)$ nên $f(0)=3$ hay $\frac{3}{c} = 3$ suy ra $c=1$ (thỏa mãn). Vì đồ thị đi qua $(1,-1)$ nên $f(1)=-1$ hay $\frac{a+b+3}{2} = -1 \Leftrightarrow a+b+3=-2 \Leftrightarrow a+b = -5$. Ta có $f'(x) = \frac{(2ax+b)(x+c) - (ax^2+bx+3)}{(x+c)^2} = \frac{ax^2 + 2acx + bx + bc - bx - 3}{(x+c)^2} = \frac{ax^2 + 2acx + bc - 3}{(x+c)^2}$. Hàm số có cực trị tại $x=1$ nên $f'(1) = 0 \Leftrightarrow a + 2ac + bc - 3 = 0 \Leftrightarrow a + 2a + b - 3 = 0 \Leftrightarrow 3a+b=3$. Ta có hệ $\begin{cases} a+b=-5 \\ 3a+b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = -9 \end{cases}$. Suy ra $S = a+b+c = 4 - 9 + 1 = -4$. Vậy đáp án là 1