Câu hỏi:

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là số nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ mà qua đó $f'(x)$ đổi dấu.
Quan sát đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm và đổi dấu từ âm sang dương (hoặc ngược lại).
Vậy hàm số $y = f(x)$ có 1 điểm cực trị.

Ta có: $y = x^3 - 3x + 4$


$y' = 3x^2 - 3$


$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$


Vì $x \in [-2; 0]$ nên ta chỉ xét $x = -1$


Ta có:

• $y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2$
• $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$
• $y(0) = 0^3 - 3(0) + 4 = 4$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 0]$ là 6.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 2m - 1}}{{x + m}}$ là đường thẳng $x = -m$.
Để tiệm cận đứng đi qua điểm $M(3;1)$, ta có $x = 3$ và $x = -m$, suy ra $-m = 3$ hay $m = -3$.
Vậy, đáp án là A. Tuy nhiên, cần kiểm tra lại điều kiện xác định của hàm số.
Nếu $m = -3$, hàm số trở thành $y = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}}$. Khi đó, tiệm cận đứng là $x = 3$, thỏa mãn đi qua điểm $M(3;1)$.
Nhưng điểm $M(3;1)$ không nằm trên tiệm cận đứng $x=3$, vì $y$ có thể nhận giá trị khác 1. Câu hỏi có vẻ có vấn đề.
Nếu ta hiểu là tiệm cận đứng $x = -m$ đi qua điểm có hoành độ là 3, thì $-m = 3$ nên $m = -3$. Khi đó, $y = \frac{2x - 7}{x - 3}$.
Nhưng câu hỏi là *giá trị m*, nên có lẽ phải xem lại đề.
Nếu bài toán hỏi là "Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm có hoành độ bằng 3", thì $x = -m = 3$, suy ra $m = -3$.
Nhưng đáp án lại không có giá trị $m=-3$, mà lại có $m = 3$ (đáp án D). Có vẻ có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc đáp án.
Nếu đáp án đúng là $m = 3$, thì tiệm cận đứng là $x = -3$.
Nếu $m=3$, thì $y = \frac{2x + 5}{x + 3}$. Khi đó, tiệm cận đứng là $x = -3$, và nó không liên quan đến điểm $M(3, 1)$.
Vậy, không có đáp án nào đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là:
$\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = x - 2$
$\Rightarrow 2x + 1 = (x - 2)(x - 1)$
$\Rightarrow 2x + 1 = x^2 - 3x + 2$
$\Rightarrow x^2 - 5x + 1 = 0$


Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm ${x_A} + {x_B} = 5$.


Vậy đáp án là D.

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$.


• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=1$.


• Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; -1)$.

Kiểm tra các đáp án:

• Đáp án A: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận đứng $x=1$, nhưng không có tiệm cận ngang. Loại.


• Đáp án B: $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Loại.


• Đáp án C: $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Khi $x=0$ thì $y = \frac{{0 + 1}}{{0 - 1}} = -1$. Thỏa mãn.


• Đáp án D: $y = {x^3} - 3x - 1$ không có tiệm cận. Loại.

Vậy đáp án đúng là C.