Câu hỏi:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

• Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$.
• Giá trị cực đại là $y_{CD} = f(-1) = 4$. Giá trị cực tiểu là $y_{CT} = f(1) = 0$.

Xét các phương án:

• Phương án A đúng.
• Phương án B sai vì để $f(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt thì $0 < m < 4$, suy ra $m \in \{1, 2, 3\}$, tức là có 3 giá trị nguyên của $m$. Tuy nhiên câu hỏi này là một mệnh đề, và mệnh đề này sai vì hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, không phải chỉ có 3 giá trị nguyên của m.
• Phương án C sai vì $a < 0$ (hệ số của $x^3$ âm) và đồ thị đi qua điểm $(-2,0)$ nên $f(-2) = 0$, thay $x = -2$ vào $y = -x^3 + 3x - 2$ ta được $y = -(-8) + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$, và đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$ nên $f(0) = 2$, thay $x = 0$ vào $y = -x^3 + 3x - 2$ ta được $y = -2$, do đó phương án này sai.
• Phương án D sai vì $M = 4$ và $m = 0$, suy ra $M \neq 3m$.

Vậy chỉ có phương án A đúng.

a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là nghiệm của mẫu: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{2}{1} = 2$.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(1; 2)$.
Gọi $A(1; a+b)$ và $B(b; 2)$. Ta có: $\vec{IA} = (0; a+b-2)$ và $\vec{IB} = (b-1; 0)$.
$\Rightarrow S_{IAB} = \frac{1}{2} |(0)(0) - (a+b-2)(b-1)| = \frac{1}{2} |(a+b-2)(b-1)| = 8$.
$\Rightarrow |(a+b-2)(b-1)| = 16$. (1)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0$. Với $y' = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến:
$y = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 + 1}{x_0 - 1}$
$y = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}x + \frac{3x_0}{(x_0 - 1)^2} + \frac{2x_0 + 1}{x_0 - 1}$
$y = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}x + \frac{3x_0 + (2x_0 + 1)(x_0 - 1)}{(x_0 - 1)^2}$
$y = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}x + \frac{2x_0^2 + x_0 - 1 + 3x_0}{(x_0 - 1)^2}$
$y = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}x + \frac{2x_0^2 + 4x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2}$
Ta có $a = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}$ và $b = \frac{2x_0^2 + 4x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2}$
Khoảng cách từ $I(1; 2)$ đến tiếp tuyến là:
$d = \frac{|a(1) + b - 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|\frac{-3}{(x_0 - 1)^2} + \frac{2x_0^2 + 4x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2} - 2|}{\sqrt{\frac{9}{(x_0 - 1)^4} + 1}}$
$d = \frac{|\frac{-3 + 2x_0^2 + 4x_0 - 1 - 2(x_0 - 1)^2}{(x_0 - 1)^2}|}{\sqrt{\frac{9}{(x_0 - 1)^4} + 1}}$
$d = \frac{|\frac{-3 + 2x_0^2 + 4x_0 - 1 - 2x_0^2 + 4x_0 - 2}{(x_0 - 1)^2}|}{\sqrt{\frac{9}{(x_0 - 1)^4} + 1}} = \frac{|\frac{8x_0 - 6}{(x_0 - 1)^2}|}{\sqrt{\frac{9}{(x_0 - 1)^4} + 1}}$
Để $d$ lớn nhất thì ta cần tìm GTLN của biểu thức này.
Tuy nhiên, ta có một kết quả quen thuộc:
Nếu $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ thì khoảng cách từ $I$ đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho là một hằng số.
Do đó, GTLN của khoảng cách $d$ là:
$d = |\frac{2\sqrt{ad - bc}}{c^2}| = |\frac{2\sqrt{2(-1) - 1(1)}}{1^2}| = 2\sqrt{3}$
Vậy đáp án d sai.