Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$, ta cần có:
- $f(2)$ tồn tại
- $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
Ta có:
- $f(2) = m - 2$
- $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (m-x) = m - 2$
- $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 3) = 2(2) - 3 = 1$
Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần:
$m - 2 = 1 \Rightarrow m = 3$
Vậy đáp án đúng là $m = 3$.
Nhưng đáp án này không nằm trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đề bài, ta thấy có một lỗi nhỏ trong cách trình bày hàm số. Đúng ra phải là:
$f(x)=\begin{cases}2x-3 & x>2\\m-x & x\leq 2\end{cases}$
Khi đó, để hàm số liên tục tại x=2, ta phải có:
$\lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^+}f(x) = f(2)$
$\Leftrightarrow m-2 = 2(2)-3 = 1$
$\Leftrightarrow m = 3$
Vậy $m=3$
Nếu đề bài đúng như trên thì:
$\lim_{x\to 2^+}f(x)=1$
$f(2) = \lim_{x\to 2^-}f(x)=m-2$
Để hàm số liên tục thì $m-2 = 1 \Leftrightarrow m=3$
Nếu sửa đề $f(x)=\begin{cases}2x-3 & x>2\\m+x & x\leq 2\end{cases}$:
$\lim_{x\to 2^+}f(x)=1$
$f(2) = \lim_{x\to 2^-}f(x)=m+2$
Để hàm số liên tục thì $m+2 = 1 \Leftrightarrow m=-1$
Nếu sửa đề $f(x)=\begin{cases}2x+3 & x>2\\m-x & x\leq 2\end{cases}$:
$\lim_{x\to 2^+}f(x)=7$
$f(2) = \lim_{x\to 2^-}f(x)=m-2$
Để hàm số liên tục thì $m-2 = 7 \Leftrightarrow m=9$
Xét $f(x)=\left\{ \begin{aligned}& 2x-3&x>2 \\& m-x&x\le 2 \\\end{aligned} \right.$
Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta có:
$2(2)-3=m-2 \Rightarrow 1=m-2 \Rightarrow m=3$ . Vậy không có đáp án đúng.
Đề bài có thể có sai sót. Nếu đề là $f(x)=\begin{cases}2x-3 & x>2\\5-x & x\leq 2\end{cases}$, hàm số liên tục tại x=2, vì $2(2)-3=1=5-2$.
