Câu hỏi:

Cho các vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương và $\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b $, $\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + 6\overrightarrow b $ và $\overrightarrow z = - 3\overrightarrow a + \overrightarrow b $. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow y $, $\overrightarrow z $ cùng phương, ngược hướng;

B. $\overrightarrow y $, $\overrightarrow z $ cùng phương, cùng hướng;

C. $\overrightarrow y $, $\overrightarrow x $ cùng phương, ngược hướng;

D. $\overrightarrow y $, $\overrightarrow x $ cùng phương, cùng hướng.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b} = 2(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = -2(\overrightarrow{a} - (-3)\overrightarrow{b}) = -2(\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) = -2\overrightarrow{x}$.
Vì $\overrightarrow{y} = -2\overrightarrow{x}$ nên $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ cùng phương, ngược hướng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu trắc nghiệm cuối HK1 Toán 10 - KNTT - Đề 1

18/09/2025

0 lượt thi

0 / 38

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) - \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{6}\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BJ} = x \overrightarrow{BI} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{6}\overrightarrow{BA} = x(\frac{3}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \land \frac{1}{6} = \frac{1}{4}x \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$.

Do đó $\overrightarrow{BJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BI}$.

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Tuy nhiên, đáp án này không đúng. Kiểm tra lại đề bài.

$\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{BJ} - \overrightarrow{BI} = (\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}) - (\frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI}$. Ta cần tìm hệ số $k$ sao cho $\overrightarrow{AI} = k \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow k = \frac{3}{4} \Rightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{IJ} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{IC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IJ} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = -(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}) = -\overrightarrow{BJ}$

Vậy J là trung điểm BC.

$\overrightarrow{IJ} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{IC} = k \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{IJ} = x \overrightarrow{JC}$

Vậy I, J, C thẳng hàng.

Câu 19:

Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 4, BC = 8. Tính $\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin{\widehat{ABC}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\widehat{ABC} = 60^\circ$.
Ta có:

$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) = 180^\circ - \widehat{BCA} = \widehat{ABC} = 60^\circ$

Vậy góc giữa hai vector $\overrightarrow {CB} $ và $\overrightarrow {CA} $ bằng 60 độ.

Câu 20:

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác $\overrightarrow 0 $. Biết: $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 30^\circ $, $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 $và $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow a $

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vector:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.cos(\overrightarrow a , \overrightarrow b )$
Suy ra:
$\sqrt 3 = |\overrightarrow a |.2.cos(30^\circ) = |\overrightarrow a |.2.\frac{\sqrt 3}{2} = |\overrightarrow a |. \sqrt 3$
Do đó:
$|\overrightarrow a | = \frac{\sqrt 3}{\sqrt 3} = 1$

Câu 21:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì tam giác ABC đều cạnh a, ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| . |\overrightarrow{AC}| . cos(\angle BAC) = a . a . cos(60^\circ) = a^2 . \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a^2$.

Câu 22:

Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: $\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} = 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {AC} = 0$. Điều này có nghĩa là $\overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} $ hay BD vuông góc với AC.

Câu 23:

Cho giá trị gần đúng của $\frac{6}{{17}}$ là 0,35. Sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 là:

Lời giải: