Câu hỏi:

Đường thẳng là $x + y = 1$.
Vì miền nghiệm nằm phía dưới đường thẳng và kể cả bờ, ta có $x + y \le 1$.

Ta có $\cos \alpha = - \frac{2}{3}$.

Vì $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ nên $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Suy ra $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Khi đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \mp \frac{2}{\sqrt{5}}$.

$E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{\mp \frac{2}{\sqrt{5}} + 3\left( {\mp \frac{{\sqrt{5}}}{2}} \right)}}{{2\left( {\mp \frac{2}{\sqrt{5}}} \right) + \left( {\mp \frac{{\sqrt{5}}}{2}} \right)}} = \frac{{\mp \frac{2}{{\sqrt{5}}}} \mp \frac{{3\sqrt{5}}}{2}}}{{\mp \frac{4}{{\sqrt{5}}}} \mp \frac{{\sqrt{5}}}{2}}} = \frac{{ - \frac{2}{{\sqrt{5}}} - \frac{{3\sqrt{5}}}{2}}}{{ - \frac{4}{{\sqrt{5}}} - \frac{{\sqrt{5}}}{2}}} = \frac{{\frac{{ - 4 - 15}}{{2\sqrt{5}}}}}{{\frac{{ - 8 - 5}}{{2\sqrt{5}}}}} = \frac{{ - 19}}{{ - 13}} = \frac{{19}}{{13}}$

Hoặc $E = \frac{{\frac{2}{{\sqrt{5}}} + \frac{{3\sqrt{5}}}{2}}}{{\frac{4}{{\sqrt{5}}} + \frac{{\sqrt{5}}}{2}}} = \frac{{\frac{{4 + 15}}{{2\sqrt{5}}}}}{{\frac{{8 + 5}}{{2\sqrt{5}}}}} = \frac{{19}}{{13}}$

Tuy nhiên, chỉ có đáp án $ - \frac{{25}}{{13}}$ gần nhất với một trường hợp nếu ta chọn dấu sai ở một chỗ. Do đó, có lẽ đề bài đã thiếu điều kiện của $\alpha$ để xác định dấu của $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$. Nếu ta giải theo hướng khác:
Chia cả tử và mẫu cho $\tan \alpha$, ta có:
$E = \frac{{\frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} + 3}}{{\frac{{2\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} + 1}} = \frac{{\cot ^2 \alpha + 3}}{{2\cot ^2 \alpha + 1}}$
Ta có $\cot ^2 \alpha = \frac{{\cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2 \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha }}{{1 - \cos ^2 \alpha }} = \frac{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2 }}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)^2 }} = \frac{{\frac{4}{9}}}{{\frac{5}{9}}} = \frac{4}{5}$.
Khi đó $E = \frac{{\frac{4}{5} + 3}}{{2.\frac{4}{5} + 1}} = \frac{{\frac{{4 + 15}}{5}}}{{\frac{{8 + 5}}{5}}} = \frac{{19}}{{13}}$. Vậy đáp án đúng là $\frac{{19}}{{13}}$