Câu hỏi:

Tổng thời gian làm xong sản phẩm loại I là \(3x\) giờ, tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là \(2y\) giờ.

Ta có bất phương trình: \(3x+2y\le 18\) (*), điều kiện \(x,\,y\in \mathbb{N}\).

Thay cặp số \(\left( 3;4 \right)\) vào bất phương trình (*) ta có:

\(3.3+2.4\le 18\) (đúng).

Do đó, số sản phẩm loại I là 3, loại II là 4 thì thời gian đội đó làm nằm trong thời gian cho phép.

Thay cặp số \(\left( 2;6 \right)\) vào bất phương trình (*) ta có:

\(3.2+2.6\le 18\) (đúng).

Do đó, số sản phẩm loại I là 2, loại II là 6 thì thời gian đội đó làm nằm trong thời gian cho phép.

\(\text{cos}\alpha =\frac{3}{4}\Rightarrow \text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =\frac{9}{16}\).

Vì \(\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1\Rightarrow \text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha =1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =\frac{7}{16}\).

\(A=3.\frac{7}{16}+\frac{9}{16}=\frac{15}{8}\).

\(B=5.\frac{7}{16}-3.\frac{9}{16}=\frac{1}{2}\).

\(C=\sqrt{\frac{7}{16}+{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{7}{16} \right)}^{2}}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{193}}{8}\).

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x, y, z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: 

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: 

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: 

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c\in \mathbb{N}\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align}  & x=y+z\left( 1 \right) \\  & y+b=2\left( z+b \right)\left( 2 \right) \\  & x=a+c+1\left( 3 \right) \\  & x+y+z+a+b+c=25\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\); với \(x, y, z, a, b, c\in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y-2z=b\ge 0\) ↔︎ \(y\ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c, ta được:

\(4y+z=26\Leftrightarrow y=\frac{26-z}{4}\le \frac{26}{4}\).

Từ điều kiện (*):

\(y=\frac{26-z}{4}=\frac{52-2z}{8}\ge \frac{52-y}{8}\)\(\Leftrightarrow 9y\ge 52\)\(\Leftrightarrow y\ge \frac{52}{9}\).

Do đó: \(\frac{52}{9}\le y\le \frac{26}{4}\) và \(y\in \mathbb{N}\).

Suy ra: \(y=6\); \(z=2\); \(x=8\).

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.

Gọi x, y lần lượt là số bông hoa loại 15 000/bông và loại 20 000/bông mà Nga mu

Điều kiện \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\); \(y\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Theo đề bài ta có bất phương trình \(15x+20y\le 200\).

Mà theo đề, x, y chia hết cho 3 nên giả sử \(x=3n;\,y=3m;\) với \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Suy ra ta có \(45n+60m\le 200\)\(\Leftrightarrow 9n+12m\le 40\) (1)

Vì \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và từ (1) ta suy ra \(\left\{ \begin{align}  & 1\le n\le 4 \\  & 1\le m\le 3 \\ \end{align} \right.\).

Gọi \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)\) là nghiệm của (1).

Ta có bảng giá trị các nghiệm của (1) như sau:

Dựa vào bảng trên ta nhận thấy \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)=\left( 3;1 \right)\) thì số tiền mua hoa là nhiều nhất:

\(9.15\,000+3.20\,000=195\,000\) đồng.

Khi đó, số tiền dư ít nhất là 5 000 đồng.

Để bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) là bậc nhất hai ẩn thì:

\({{(m+1)}^{2}}+{{({{m}^{2}}+m)}^{2}}>0\)\(\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}\left( 1+{{m}^{2}} \right)>0\)\(\Leftrightarrow m\ne -1\).

Điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) nên tọa độ điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thỏa mãn bất phương trình.

Từ đó ta có:

\(m+1+2\left( {{m}^{2}}+m \right)-1>0\)\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+3m>0\(\Leftrightarrow m\left( 2m+3 \right)>0\) (*)

(*) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>0 \\  & 2m+3>0 \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<0 \\  & 2m+3<0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>0 \\  & m>-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<0 \\  & m<-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & m>0 \\  & m<-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\ne -1\) ta được \(m\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\).