Câu hỏi:

\(AM = 4BM\) và \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {AM}  =  - 4\overrightarrow {BM} \).

a) Đúng. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: "Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) ".

b) Sai. P là điều kiện đủ để có Q

c) Đúng. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh để đúng

d) Sai. Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề: "Nếu tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác ABC vuông tại A " là mệnh đề đúng.

a) Đúng. Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0; - 2} \right)\).

b) Sai.

Gọi phương trình đường thẳng d là \(y = ax + b\). Vì d đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0; - 2} \right)\).

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\b =  - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( d \right):y = x - 2 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\).

c) Đúng. Vì điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên \(x - y - 2 = 3 + 1 - 2 = 2 > 0\) (đúng)

d) Sai. Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d ) là miền nghiệm của bất phương trình \(x - y - 2 > 0\).

a) Đúng.

Trong tam giác ABC có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^ \circ }\).

Do đó, \(\hat B + \hat C = {180^ \circ } - \hat A\).

Khi đó \({\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}A = \frac{2}{3}\).

b) Sai. Vì A là góc tù nên \({\rm{cos}}A < 0 \Rightarrow {\rm{cos}}A =  - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A}  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

c) Đúng. \({\rm{cot}}\frac{{A + C}}{2} = {\rm{cot}}\left( {{{90}^ \circ } - \frac{B}{2}} \right) = {\rm{tan}}\frac{B}{2}\).

d) Sai.

Ta có: \(1 + {\cot ^2}(B + C) = \frac{1}{{{{\sin }^2}(B + C)}}\).

Khi đó \({\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\left( {B + C} \right) = \frac{5}{4}\), mà \(\hat B + \hat C = {180^ \circ } - \hat A < {90^ \circ }\).

Do đó \({\rm{cot}}\left( {B + C} \right) > 0\), suy ra \({\rm{cot}}\left( {B + C} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Vậy \({\rm{tan}}\left( {B + C} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

a) Đúng. M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0\).

b) Sai. N là điểm thuộc đoạn AC sao cho \(CN = 2AN\) và \(\overrightarrow {CN} ,\,\overrightarrow {AN} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {AN} \).

c) Sai. K là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = 2\overrightarrow {OK} \) với O là một điểm bất kì.

d) Đúng.

\(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).