Câu hỏi:

Vẽ các đường thẳng.

\({{d}_{1}}:y=4\); \({{d}_{2}}:x-y-1=0\); \({{d}_{3}}:x+2y-10=0\);

\(Ox:y=0\); \(Oy:x=0\).

Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A(0;4)\), \(O(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(4;3)\), \(D(2;4)\)

Vì điểm \({{M}_{0}}(1;1)\) có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({{d}_{1}}\), \({{d}_{2}}\), \({{d}_{3}}\), Ox, Oy không chứa điểm \({{M}_{0}}\).

Miền không bị tô đậm là đa giác OADCB kể cả các cạnh là miền nghiệm của hệ pt đã cho.

Kí hiệu \(F(A)=F({{x}_{A}};{{y}_{A}})={{x}_{A}}+2{{y}_{A}}\), ta có.

\(F(A)=8\), \(F(O)=0\), \(F(B)=1\), \(F(C)=10\); \(F(D)=10\).

Giá trị lớn nhất cần tìm là 10.

Ta có: \(\sin {{115}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}-{{115}^{{}^\circ }})=\sin {{65}^{{}^\circ }}=\cos ({{90}^{{}^\circ }}-{{65}^{{}^\circ }})=\cos {{25}^{{}^\circ }}\);

\(\sin {{165}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}-{{165}^{{}^\circ }})=\sin {{15}^{{}^\circ }}=\cos ({{90}^{{}^\circ }}-{{15}^{{}^\circ }})=\cos {{75}^{{}^\circ }}\).

Do đó,

\(T={{\sin }^{2}}{{25}^{{}^\circ }}+{{\sin }^{2}}{{75}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{25}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{75}^{{}^\circ }}\)

\(=({{\sin }^{2}}{{25}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{25}^{{}^\circ }})+({{\sin }^{2}}{{75}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{75}^{{}^\circ }})=1+1=2\).

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC\).

Ta có:

\(A{{M}^{2}}=\frac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}\).

\(\Rightarrow A{{G}^{2}}=\frac{4}{9}A{{M}^{2}}=\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}\).

\(B{{N}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}\).

\(\Rightarrow G{{N}^{2}}=\frac{1}{9}B{{N}^{2}}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}\)

Trong tam giác \(\Delta AGN\) ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \cos \widehat{AGN} & =\frac{A{{G}^{2}}+G{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2.AG.GN}  \\    {} & =\frac{\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}-\frac{{{b}^{2}}}{4}}{2.\sqrt{\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}}.\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}}}  \\    {} & =\frac{\frac{10{{c}^{2}}-2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{36}}{2.\sqrt{\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}{9}-\frac{{{a}^{2}}}{9}}.\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\frac{{{b}^{2}}}{36}}}=0.  \\ \end{array}\)

\(\Rightarrow \widehat{AGN}={{90}^{{}^\circ }}\).

Vậy góc giữa hai trung tuyến AM và BN bằng \({{90}^{{}^\circ }}\).

Mệnh đề đảo của "Nếu P thì Q" là "Nếu Q thì P".

Vậy, chúng ta sẽ đảo ngược P và Q:

* Phần "Nếu" sẽ là Q: "một tam giác là tam giác cân".

* Phần "thì" sẽ là P: "tam giác đó có hai cạnh bằng nhau".

Kết hợp lại, mệnh đề đảo sẽ là: "Nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau".

Ta có: \({{x}^{2}}-x+1={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0,\forall x\in \mathbb{R}\), câu A đúng.

\(\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow n\ge 0\), câu B sai.

\({{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\), câu C sai.

Với \(x=-2\Rightarrow \frac{1}{-2}<0\), câu D sai.