Câu hỏi:

Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có 

\(AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B = AC \cdot \tan C;\)

\(AC = BC \cdot \cos C = AB \cdot \cot C.\)

Do \(\alpha ,\,\beta \) là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên \(\alpha + \beta = 90^\circ \).

Khi đó \(\sin \alpha = \cos \beta ,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\cot \alpha = \tan \beta \) và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\).

Do đó \(\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.\)

Tam giác \(ABC\) có cạnh huyền \(BC\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.\)

Vậy tỉ số giữa cạnh đối \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng \(\frac{1}{2}.\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 1;\,x \ne 2.\)

\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)

\(\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1\)

\(x - 2 - 7x + 7 = - 1\)

\( - 6x = - 6\)

\(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình vô nghiệm.